Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
funzione, la seconda parte delle condizioni (2.65) si esprime dicendo che α
è uno zero della funzione ψ. Se dunque α è uno qualunque di tali zeri, si
ottengono tutti i possibili livelli energetici dalla relazione:
E = − α 3 m 2 g 2 /2. (2.66)
Possiamo anche calcolare il modulo di periodicità dell’azione relativa
al modello puntiforme, che indicheremo semplicemente con S. Ciò servirà
a confrontare i risultati della meccanica ondulatoria con quelli a cui con-
ducono le condizioni di Sommerfeld. Avremo
S = 2
E/mg
0
m
2
4
(E − mgx) dx =
m 3g
Ovvero, eliminando E mediante la (2.66):
mentre le condizioni di Sommerfeld darebbero:
S
h
2
m E3/2 . (2.67)
= 2
3π (−α)3/2 , (2.68)
S/h = n, (2.69)
(n intero positivo o nullo).
Vediamo ora di costruire effettivamente la funzione F (x) = y. Due
soluzioni particolari della (2.65) sono (vedi paragrafo 2.32):
M = 1 + 1
2·3 x3 +
N = x + 1
3·4 x4 +
1
2·3·5·6 x6 +
1
3·4·6·7 x7 +
1
2·3·5·6·8·9 x9 + . . .
1
3·4·6·7·9·10 x10 + . . .
(2.70)
La soluzione generale è una combinazione di M e di N e poiché M ed N
tendono all’infinito per x → ∞, dovrà essere, a meno di un fattore costante:
y = M − λ N, (2.71)
essendo
M
λ = lim . (2.72)
x→∞ N
Che λ sia finito lo proveremo tra poco; che poi y tenda effettivamente a
zero per x → ∞, e con sufficiente rapidità, si dimostra nel modo seguente.
Poniamo una soluzione qualunque della (2.65) sotto la forma:
y = e u . (2.73)
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