Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
diretto dell’energia potenziale cinetica. Dall’espressione di µ, si ricava che
l’energia dell’atomo è proporzionale alla potenza 7/3 del numero atomico:
ɛ = K Z 7/3 . (2.142)
Se dal numero atomico Z, passiamo al numero α = log Z il differenziale di
energia sarà:
dɛ = 7
ɛ dα. (2.143)
Possiamo immaginare di compiere tale passaggio aggiungendo al nucleo
una carica positiva Ze dα e aumentando il numero degli elettroni di Z dα.
Nelle nostre unità perché Ze = 1 basterà supporre di portare nel nucleo una
carica dα, e di aggiungere all’esterno tanti elettroni da formare un’uguale
carica negativa. Se si suppone come è verosimile che i numeri quantici degli
elettroni preesistenti non vengano alterati 18 (non basta a ciò il principio
delle adiabatiche) e si bada che la variazione dell’energia per introduzione
di nuovi elettroni nella regione più esterna è infinitesima del secondo ordine,
la conservazione di energia si scriverà:
3
dɛ = V ′
0 dα, (2.144)
in cui V ′
0 è il potenziale del nucleo dovuto alle sole cariche elettroniche.
Ora la densità lineare delle cariche negative alla distanza x è xϕ ′′ e quindi:
V ′
0 =
∞
Dalle equazioni (2.143), (2.144), e (2.145) si deduce:
0
1
x x ϕ′′ dx = ϕ ′ 0. (2.145)
ɛ = 3
7 ϕ′ 0. (2.146)
Il calcolo dell’energia potenziale è immediato; supposto di portare gli
elettroni all’infinito con flusso costante da ogni punto e proporzionale alla
densità iniziale, il potenziale alla distanza x varierà linearmente dal valore
ϕ/x al valore 1/x. L’energia potenziale è quindi:
U = −
∞
0
1 + ϕ
2x xϕ′′ dx = ϕ ′ 0 + 1
2
∞
0
ϕ ′2 dx. (2.147)
18∗ Anche se questa ipotesi non fosse esatta, le conclusioni che abbiamo dedotto
da essa sarebbero ancora valide perché, in ogni caso, le variazioni di energia
sarebbero del secondo ordine.
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