Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
di trasformazioni unitarie. Le matrici α1 e α2 assumono allora l’aspetto:
α1 =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1
0
...
0
0
0
...
0
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
...
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
0 0 ... 0
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
0 0 ... 0
0 0 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... 0
−1 0 ... 0
0 −1 ... 0
... ... ... ...
0 0 ... −1
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟ ,
⎟
⎠
α2 =
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
0
0
...
0
1
0
...
0
0
...
0
0
1
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
0
0
0
...
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎛
⎜
⎝
⎛
⎜
⎝
1
0
...
0
0
0
...
0
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
1
0
0
...
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟
⎠
⎞
⎟ .
⎟
⎠
0 0 ... 1 0 0 ... 0
(3.531)
Per p = 2 e n pari il problema ammette così una sola soluzione fondamentale,
mentre per n dispari non ne ammette.
3) Si supponga p > 2. Avremo le p matrici
α1, α2, α3, . . . , αp. (3.532)
Scegliamo come prima i primi r = n/2 vettori fondamentali nello spazio
R ′ r corrispondente all’autovalore positivo +1 di α1, e gli ultimi n − r nello
spazio R ′′
r li otteniamo trasformando i primi mediante α2. Unica differenza
rispetto al caso precedente è che invece di scegliere ad arbitrio i primi r
vettori fondamentali nello spazio R ′ r, ne adatteremo la scelta alla rappresentazione
di α3, α4, . . . , αp. Per far ciò poniamo:
α2α3 = iβ1 α3 = iα2β1
α2α4 = iβ2 α4 = iα2β2
· · ·
α2αp = iβp−2 αp = iα2βp−2.
311
(3.533)