Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
4.26 Diffusione di elettroni veloci
(metodo di Born relativistico)
Consideriamo l’equazione di Dirac senza campo:
W
c + ρ1
σ·p + ρ3 mc ψ = 0 (4.439)
e risolviamo anzitutto il problema seguente: data una funzione a 4 valori
P (q), che si annulla all’infinito, determinare una soluzione dell’equazione
differenziale:
W
c + ρ1
σ·p + ρ3 mc ψ = P (4.440)
(W = costante), con la condizione ai limiti che ψ rappresenti al’infinito
un’onda divergente. Applichiamo ai due membri di (4.440) l’operatore
W
− ρ1 σ·p − ρ3 mc troviamo:
c
2
W
c2 − m2c 2 − p 2
ψ =
W
c − ρ1
σ·p − ρ3 mc P. (4.441)
Esplicitando l’operatore p e introducendo la costante
si ha:
∆ ψ + k 2 ψ =
k = 1
1
2
1
W 2 /c2 − m2c2 = |p|, (4.442)
W
c − ρ3
mc + i
ρ1
σ·grad P. (4.443)
Da questa segue, come è noto, che la soluzione di (4.443) soddisfacente alla
detta condizione ai limiti ha la forma:
ψ(q) = − 1
ik|q−q
e
4π
′ |
|q − q ′
1
| 2
W
− ρ3 mc +
c i
ρ1 σ·grad
×P (q ′ ) dq ′ , (4.444)
che può essere semplificata mediante integrazione per parti; troviamo così,
tenendo conto che grad è una variabile sulla variabile indipendente q ′ :
grad eik|q−q′ |
|q − q ′ q − q′
= −
| |q − q ′
1
ik −
| |q − q ′ ik|q−q
e
|
′ |
|q − q ′ , (4.445)
|
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