Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

si ha infine:
1
−1
Volumetto 4: 24 aprile 1930
t n+2α Pn(t) dt = 2 n+1 (n + α)! (n + 2α)!
. (4.123)
α! (2n + 2α + 1)!
Ponendo in (4.123) n in luogo di n − 2α si ha:
1
t
−1
n Pn−2α(t) dt = 2 n−2α+1
(n − α)! n!
α! (2n − 2α + 1)!
(4.124)
(con 2α ≤ n); da cui, badando alla condizione di normalizzazione dei
polinomi di Legendre
1
−1
P 2 n(t) dt =
2
2n + 1 ,
si ricava lo sviluppo di t n (n − 1 ≤ t ≤ 1) secondo i polinomi di Legendre:
t n =
2α≤n
α=0
2 n−2α (2n − 4α + 1)
(n − α)! n!
α! (2n − 2α + 1)! Pn−2α(t). (4.125)
4.9 Formola di Rutherford dedotta con la
meccanica classica
Si abbia una corrente uniforme di particelle di carica Z ′ e e di massa m,
muoventisi secondo l’asse z con velocità v. Sia io/v il numero di particelle
per unità di volume e quindi io il flusso per unità di superficie normale
all’asse z nell’unità di tempo. Si supponga inoltre che nell’origine delle coordinate
sia posto un corpo diffondente di carica Ze; si domanda il numero
di particelle che vengono deviate di un angolo θ per unità di tempo e di
angolo solido. Tale numero può porsi sotto la forma f(θ) io, e avrà f(θ)
le dimensioni di una superficie (sezione d’urto). Per risolvere il problema
osserviamo che ogni particella si muove in un piano passante per l’asse z.
Scegliendo in questo coordinate polari avremo
¨ρ − ρ ˙ θ 2 = k
ρ 2 ˙ θ = c.
ρ 2 , k = ZZ′ e 2
377
m ;
(4.126)