Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
sistema si trovi al tempo t nello stato ψ0 o negli stati ψW , o in stati ψW ′,
con W ′ differente da W . In luogo di probabilità relativa che il sistema si
trovi in un certo stato, parleremo di “numero di sistemi” in quello stato.
Ora, benché lo stato infinito ψW non sia rigorosamente stazionario e rappresenti
un numero infinito di sistemi, solo un numero finito di questi ha
energia differente da E0 +W per una quantità finita, cosicché dobbiamo aspettarci
che crescano indefinitamente, e possiamo presumere linearmente,
nel tempo, solo transizioni a stati infinitamente prossimi a ψW e φW . Tratteremo
il problema servendoci degli stati stazionari Z 1 W e Z 2 W e usando
delle approssimazioni (4.507) e (4.509). Sviluppando ψW secondo Z 1 W e
Z 2 W , abbiamo:
ψW =
1
N ′ W
+
ɛ I
|I| 2 + |L| 2 Z1
W + I
Z 1 W ′
N ′ W ′(W ′ ′
dW
− W )
L
|I| 2 + |L| 2 Z2 W . (4.514)
L’integrale ha al solito il suo valore principale. Se al tempo t = 0 ψ = ψW ,
possiamo calcolare immediatamente ψ al tempo t servendoci dello sviluppo
(4.514):
ψ =
1
N ′ W
+
ɛ I
|I| 2 + |L| 2 e−iEt/ Z 1
W + I
e −iE′ t/
Z 1 W ′
N ′ W ′(W ′ ′
dW
− W )
L
|I| 2 + |L| 2 e−iEt/ Z 2 W , (4.515)
essendo E = E0 + W , E ′ = E0 + W ′ . Sostituendo in (4.515) mediante
(4.510) possiamo ottenere l’espressione di ψ a mezzo degli stati imperturbati
ψ0, ψW , φW . Ad evitare difficoltà derivanti dalle singolarità degli
integrali, giova sostituire dovunque ad espressioni del tipo (1/W ′ − W )
altre della forma
W ′ − W
(W ′ − W ) 2 + α 2
e per quindi α → 0. Per t > 0 conviene rappresentare ψ come somma di due
soluzioni particolari: ψ = ψ1 + ψ2, tali che per t = 0 ψ1 + ψ2 = ψW , e delle
quali ψ1 descrive essenzialmente il fenomeno per tempi sufficientemente
lunghi, mentre ψ2 è uno stato finito della forma (4.512). Si trova così
t > 0, ψ = ψ1 + ψ2,
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