Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 1: 8 marzo 1927
Dalle (1.297) si ricava l’espressione generale delle linee di forza:
x = α √ a 2 + t
y = β √ b 2 + t (1.302)
z = γ √ c 2 + t
(α 2 +β 2 +γ 2 = 1). Le costanti α, β, γ sono evidentemente i coseni direttori
degli asintoti delle linee di forza, i quali sono rette passanti per il centro
dell’ellissoide.
Per calcolare il potenziale U = U(t) sull’ellissoide in (1.301), si osservi
che dalla (1.295) si deduce in generale la differenza di potenziale fra due
superfici equipotenziali infinitamente vicine. Integrando tra t = ∞ e t = t0,
si ottiene:
U(t0) = mK
2
∞
t0
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) . (1.303)
In particolare, sull’ellissoide in (1.288) il potenziale sarà
U(0) = mK
2
∞
0
dt
(a 2 + t)(b 2 + t)(c 2 + t) . (1.304)
Poiché agli effetti esterni dell’ellissoide si può sostituire alla distribuzione
omeoidica, di massa totale m, sull’ellissoide x2 y2 z2
+ + = 1, un’altra
a2 b2 c2 distribuzione omeoidica di pari massa, posta su un ellissoide omofocale, si
può estendere ai punti esterni l’espressione (1.292) del campo:
F =
mK
(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)
1
× . (1.305)
x2 /(a2 + t) 2 + y2 /(b2 + t) 2 + z2 /(c2 + t) 2
Dalla (1.304) si deduce immediatamente la capacità dell’ellissoide; essa vale
nel moto:
C = 2
∞
−1 dt
.
(a2 + t)(b2 + t)(c2 + t)
(1.306)
Si consideri ora l’ellissoide piano
0
x 2
a
b
y2 z2
+ + 2 2
66
< 1
c2