Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Sostituendo in (3.278) mediante (3.280), per α intero si ha:
φ(α) = − 1
α
+
1
δ
ovvero, notando che δ 2α = 1,
1
log (1 − δ) +
δ3 log (1 − δ3 ) + . . .
1
δ2α−1 log (1 − δ2α−1
) ; (3.281)
φ(α) = − 1 2α−1 2α−3 3
δ log (1 − δ) + δ log (1 − δ ) + . . .
α
+ δ log (1 − δ 2α−1 ) . (3.282)
(Con l’avvertenza che la parte immaginaria in ognuno dei logaritmi che
figurano al secondo membro della (3.282) è determinata univocamente dalla
condizione che sia compresa fra (−iπ/2, iπ/2)).
Se si bada che nel secondo membro della (3.282) i termini sono a due
a due complessi coniugati e che
log (1 − δ r ) = log
δ 2α−r = cos
2 sin
r π
α
la (3.282) diventa:
φ(α) = cos π
α log
2 sin π
2α
+ cos 3π
α log
2 sin 3π
2α
+ cos
+ π
2α α
+ (2α − 1)π
α
Si deducono come casi particolari:
(2α − 1)π
log
α
π 3π
sin +
sin
r π
r π π
+ i − i (3.283)
2 2α 2
r π
− i sin , (3.284)
α
+ . . .
(2α − 1)π
2 sin
2α
3π
sin + . . .
2α α
(2α − 1)π
. (3.285)
α
φ(0) = 1
π
, φ(1) = log 2, φ(2) =
2 4 ,
φ(3) = 1
√
3
log 2 + π, φ(4) = . . . .
3 9
264
(3.286)