Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.38 Degenerazione di risonanza con più
elettroni
Consideriamo n elettroni q1, q2, . . . , qn in n orbite definite dalle autofunzioni
ψ1, ψ2, . . . , ψn con autovalori in generale diversi. Se trascuriamo in
approssimazione zero l’interazione potremo assumere come autofunzione
del sistema il prodotto delle singole autofunzioni e poiché si possono ordinare
in n! modi differenti i vari elettroni avremo n! autofunzioni indipendenti,
di cui una generica è data da:
Ψr = ψ1(qr1) ψ2(qr2) ·s ψn(qrn), (2.674)
essendo r1, r2, . . . , rn una qualunque permutazione dei primi n numeri. In-
dichiamo con Pr la sostituzione:
1 2 3 . . . n
a1 a2 a3 . . . an
. (2.675)
Definiamo altresì Pr come operatori su una funzione di n variabili e di n
gruppi di variabili, che indichiamo brevemente con q:
Pr f(q) = f(Pr q), (2.676)
in cui Pr va inteso al primo membro come operatore e al secondo come
sostituzione che altera l’ordine delle variabili indipendenti. È chiaro che il
suo doppio significato non dà mai luogo a equivoci. Conveniamo inoltre
che P1 sia la permutazione identica. Segue dalla (2.674):
e dalle equazioni (2.674), (2.676) e (2.677),
Ψ1 = ψ1(q1) ψ2(q2) ·s ψn(qn), (2.677)
Ψr = Pr Ψ1. (2.678)
Introduciamo nell’Hamiltoniana, come termine di perturbazione, l’interazione
H, che dovremo supporre simmetrica rispetto alla q, di modo che
Pr H(q) = H(q) r = 1, 2, . . . , n! (2.679)
Il termine Hrs della matrice di perturbazione sarà:
Hrs = Ψ ∗
r H Ψs dq =
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Pr ψ ∗ 1 H Ps ψ1 dq, (2.680)