Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
Detta matrice è quindi diagonale con gli elementi diagonali:
cioè:
Il carattere è così dato da:
ɛ 2r−2j , r = v, v − 1, . . . , 0 (3.609)
ɛ 2j , ɛ 2j−2 , . . . , ɛ −2j . (3.610)
χi = ɛ 2j + ɛ 2j−2 + . . . + ɛ −2j = ɛ2j+1 − ɛ −(2j+1)
ɛ − ɛ −1 . (3.611)
Di un gruppo astratto h siano date due rappresentazioni G e G ′ , la
prima a n dimensioni e la seconda a n ′ dimensioni. All’elemento σ del
gruppo corrisponde in G la matrice S che agisce sulle variabili x:
x ′ i =
Sik xk, i, k = 1, 2, . . . , n, (3.612)
e in G ′ la matrice S ′ che agisce sulle variabili y:
k
y ′ r =
s
S ′ rs xs, r, s = 1, 2, . . . , n ′ . (3.613)
Le matrici S×S ′ a nn ′ dimensioni sono definite come quelle che trasformano
i prodotti xiyr nei prodotti x ′ iy ′ r. Esse costituiscono evidentemente
una rappresentazione, che indicheremo con S×S ′ , dello stesso gruppo astratto.
A causa di (3.612) e (3.613), sarà:
x ′ i y ′ r =
k,s
Sik S ′ rs xk ys, (3.614)
da cui risulta la definizione esplicita delle S×S ′ :
S×S ′
ir,ks = Sik S ′ rs. (3.615)
Ponendo k = i e s = r, si ottengono gli elementi diagonali di S×S ′ :
S×S ′
ir,ir = Sii S ′ rr, i = 1, 2, . . . , n; r = 1, 2, . . . , n ′ , (3.616)
da cui risulta semplicemente:
χ(S×S ′ ) = χS χS ′. (3.617)
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