Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Per avere la seconda approssimazione possiamo sostituire a u ′′ nella (2.456)
il valore che si ottiene ritenendo verificata la (2.459). Cioè: si avrà in seconda
approssimazione:
− 1
4 P ′′ P −5/4 + 5
16 P ′2 P −9/4 − 1
u
3 + u P = 0. (2.461)
Ponendo in luogo di u, P −1/4 + ∆u e scrivendo per approssimazione:
la (2.461) diventa
da cui
1
u 3 P 3/4 − 3 P ∆u, (2.462)
− 1
4 P ′′ P −5/4 + 5
16 P ′2 P −9/4 + 4 P ∆u = 0, (2.463)
∆u = 1
u = P −1/4
Sempre in via d’approssimazione segue:
1
dx
u
1/2
= P
u2 (2.464)
1 + P P ′′ − (5/4) P ′2
16 P 3
. (2.465)
16 P ′′ P −9/4 − 5
64 P ′2 P −13/4
1 − P P ′′ − (5/4) P ′2
8 P 3
′
P √P
= − +
2 8P 3/2
1 −
e si avranno per y soluzioni del tipo:
y =
1
4√ 1 +
P
P P ′′ − (5/4) P ′2
16 P 3
sin
√P
× −
cos
′
P
+
8P 3/2
1 −
(2.466)
′2
P
32P 3
dx, (2.467)
′2
P
32P 3
dx , (2.468)
corrispondenti a P > 0. Per P < 0 si avranno soluzioni analoghe:
y =
1
4√ 1 +
−P
P P ′′ − (5/4) P ′2
16 P 3
P
× exp ± −
′
√−P
+
1 −
8(−P ) 3/2
′2
P
32P 3
dx
173
(2.469)