Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
in cui a0 = 1, a1 = 9 − √ 73, e gli altri coefficienti si calcolano con la
relazione ricorrente lineare nell’ultimo: 11
m
n=0
1
[(m − n + 1) am−n+1 (δn − (an − 2 an−1 + an−2))
2
+ (n + 1) an+1 (δm−n − (am−n − 2 am−n−1 + am−n−2))
+16 am−n an − 8 (am−n an−1 + an am−n − 1)] = 0. (2.118)
I primi coefficienti valgono: 12
a0 1.000000, a1 0.455996 (3),
a2 0.304455, a3 0.222180 [796],
a4 0.168212 (4), a5 0.129804,
a6 0.101300, a7 0.0796351,
a8 0.0629230, a9 0.0499053,
a10 0.0396962.
Se nello sviluppo (2.117) si pone t1 = 1 si ricava per la (2.115):
− ϕ ′ 0 =
1/3 3
(1 + a1 + a2 + . . .) . (2.119)
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La serie di destra è a termini positivi e a convergenza geometrica; il rapporto
di un termine e il precedente tende a circa 4/5.
11 L’Autore ha risolto per serie la (2.116); sostituendo (2.117) nella (2.116), si
ottiene una relazione iterativa per i coefficienti a1, a2, a3, . . . (il primo coefficiente
a0 è dato dalla condizione al limite per x = 0). Usando questa procedura, si
ottiene la relazione iterativa riportata nella (2.118). Stranamente, questa risulta
diversa da quella riportata nel manoscritto originale, ossia:
a1(an − 2an−1 + an−2) + 2a2(an−1 − 2an−2 + an−3)
+3a3(an−2 − 2an−3 + an−4) + . . . + nan(a1 − 2a0)
+8(a0an + a1an−1 + . . . + ana0)
−8(a0an−1 + a1an−2 + . . . + an−1a0) = 0.
Tuttavia, la restante discussione e i risultati presenti nel manoscritto sono tutti
corretti; ciò potrebbe indicare che l’eventuale errore di scrittura sia stato causato
semplicemente da una svista. Si noti pure che, come affermato dall’autore, le
equazioni che determinano i coefficienti a2, a3, . . . sono lineari; mentre l’equazione
per a1 è quadratica, e si deve scegliere la soluzione più piccola, cioè, a1 = 9− √ 73.
12 Nel manoscritto originale vengono riportati solo i primi cinque coefficienti.
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