Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 4: 24 aprile 1930
i 2 E - i 2 E I
- i 2 E -
- i 2 E II
Sostituendo nelle ultime formole (4.189), avremo, a meno di un fattore
costante:
t r
u ∼ e t − i √ ℓ − i/
2E
√ 2E
t + i √ ℓ + i/
2E
√ 2E
dt, (4.282)
C
C
purché sia soddisfatta la condizione:
d
t r
e t − i
dt
√ ℓ + 1 − i/
2E
√ 2E
t + i √ ℓ + 1 + i/
2E
√ 2E
dt
= 0. (4.283)
Per r reale e positivo la condizione (4.283) è soddisfatta se gli estremi
del campo di integrazione giacciono all’infinito nella direzione negativa
dell’asse reale.
Fissato il campo C di integrazione, dobbiamo ancora dare una definizione
univoca di log(t − i √ 2E) e log(t + i √ 2E) per determinare la funzione integranda.
Stabiliamo che sia la parte immaginaria del logaritmo, così di (t − i √ 2E)
come di (t + i √ 2e), minore o uguale di π. Avremo allora come linee di discontinuità
due semirette passanti dai punti ±i √ 2E e parallele al semiasse
reale negativo. Indichiamo con u1 l’integrale (4.282) esteso al cammino I
(vedi figura); analogamente definiamo u2 e χ1 in relazione al campo II.
Introduciamo una variabile di integrazione più conveniente ponendo t =
i √ 2Et1. Scrivendo nuovamente t in luogo di t1 avremo:
u = k e i√2Etr (t − 1)
l − i/ √ 2E
(t + 1)
l + i/ √ 2E
dt. (4.284)
I cammini di integrazione I e II risultano dalla figura. Il logaritmo di
t − 1 e t + 1 si intende reale rispettivamente per t − 1 > 0 e t + 1 > 0, linee
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