Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 5
La condizione di realità delle componenti (cartesiane) di A importa:
A ′χ
k,j,m = ± (−1)m A χ∗
k,j,−m , + per χ = L, E, − per χ = M.
(5.225)
Con la stessa regola si può ottenere da (5.222) lo sviluppo di I ∗ 0 .
Poniamo
V L k,j,m = grad vk,j,m. (5.226)
La funzione scalare v è data da (5.218). Le vk,j,m non sono normalizzate
rispetto a dk, tali sono invece le stesse funzioni moltiplicate per k:
pk,j,m = kvk,j,m. Sviluppiamo il potenziale scalare e la sua derivata temporale
secondo le vk,j,m, ponendo
φ =
˙φ =
∞
j,m 0
∞
j,m
0
φk,j,m e −ikct + φ ′ k,j,m e ikct
ikc
La condizione di realità impone
vk,j,m dk, (5.227)
φ ′ k,j,m e ikct − φk,j,m e −ikct
vk,j,m dk. (5.228)
φ ′ k,j,m = (−1) m φ ∗ k,j,m. (5.229)
Dalla condizione di gauge 55 ˙ φ = −c div A, osservando che le onde trasversali
sono prive di divergenza e che div grad vk,j,m = ∆ vk,j,m = −k 2 vk,j,m,
ricaviamo:
φk,j,m e −ikct − φ ′ k,j,me ikct = ik
Poniamo inoltre
ρ =
j,m
∞
0
A L k,j,m e −ikct + A ′L
k,j,m e ikct
. (5.230)
ρk,j,m vk,j,m dk, (5.231)
e badiamo che la prima delle (5.208) può scriversi per la condizione di
gauge:
φ ≡ − 1
div A − ∆ φ = 4π ρ, (5.232)
c
55 Per chiarezza, qui e nel seguito la (5.209) verrà indicata come “condizione di
gauge”, laddove nel testo originale essa viene definita “equazione di continuità”
(per i potenziali).
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