Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
+xy (P1P2 + P2P1) + yz (P2P3 + P3P2) + zx (P1P3 + P3P1)]
+ 1 3 3
x P1 + y
6
3 P 3 2 + z 3 P 3 3 + x 2 y P 2 1 P2 + P1P2P1 + P2P 2 1
+xy 2 P1P 2 2 + P2P1P2 + P 2 2 2
2 P1 + y z P2 P2 + P2P3P2 + P3P 2 2
+yz 2 P2P 2 3 + P3P2P3 + P 2 2 2
3 P2 + z z P3 P1 + P3P1P3 + P1P 2 3
+x 2 z P3P 2 1 + P1P3P1 + P 2
1 P3 + xyz (P1P2P3 + P2P3P1
+P3P1P2 + P1P3P2 + P2P1P3 + P3P2P1)] + . . .
= 1 + t aP1 + bP2 + cP3 + a ′ P1 + b ′ P2 + c ′
P3
+ t2 2 2
a P1 + b
2
2 P 2 2 + c 2 P 2 3 + ab (P1P2 + P2P1) + bc (P2P3 + P3P2)
+ca (P1P3 + P3P1) + a ′2 P 2 1 + b ′2 P 2 2 + c ′2 P 2 3 + a ′ b ′ (P1P2 + P2P1)
+b ′ c ′ (P2P3 + P3P2) + c ′ a ′ (P1P3 + P3P1) + 2aa ′ P 2 1 + 2bb ′ P 2 2
+2cc ′ P 2 3 + 2ab ′ P1P2 + 2bc ′ P2P3 + 2ca ′ P3P1
+2ac ′ P1P3 + 2ba ′ P2P1 + 2cb ′ P3P2
+ . . . . (3.432)
Poiché x, y, z sono infinitesimi con t e a, b, c, a ′ , b ′ , c ′ sono costanti arbitrarie,
uguagliando i termini dello stesso grado nei due membri della
(3.432), si trovano successive relazioni a cui devono soddisfare P1, P2, P3.
Vogliamo trovare effettivamente i primi termini dello sviluppo di x, y, z
secondo t; per far ciò sviluppiamo (3.430) in serie fino agli infinitesimi di
secondo ordine. Troviamo:
1 + (0, at, bt, ct) + (0, a ′ t, b ′ t, c ′ t) + 1
(0, at, bt, ct)2
2
+ 1
2 (0, a′ t, b ′ t, c ′ t) 2 + (0, at, bt, ct)(0, a ′ t, b ′ t, c ′ t) + . . .
= (1, 0, 0, 0) + (0, x, y, z) + 1
2 (0, x, y, z)2 + . . .
da cui uguagliando separatamente le quattro componenti dei quaternioni:
1 − 1
2 t2 (a + a ′ ) 2 + (b + b ′ ) 2 + (c + c ′ ) 2 + . . .
= 1 − 1 2 2 2
x + y + z
2
+ . . . (3.433)
(a + a ′ )t + (cb ′ − bc ′ )t 2 + . . . = x + 0t + . . . (3.434)
(b + b ′ )t + (ac ′ − ca ′ )t 2 + . . . = y + 0t + . . . (3.435)
(c + c ′ )t + (ba ′ − ab ′ )t 2 + . . . = z + 0t + . . . (3.436)
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