Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
autovalori : − k − 1 + ɛ g ′′ ℓ (3.674)
ℓ = k − 1
3
1
, k − , . . . , − k + .
2 2 2
Le costanti di separazione g ′ e g ′′ date da (3.671) e (3.672) si possono
raccogliere nell’unica espressione
e si avrà sempre
g =
2j + 1
2k + 1
(3.675)
g ′ > 1, g ′′ < 1, g ′ + g ′′ = 2. (3.676)
Per esempio, per k = 1 si ha g ′ = 4/3, g ′′ = 2/3. Si possono anche porre g ′
e g ′′ sotto la forma generale valevole per un numero qualunque di elettroni:
g = 1 +
Segue infatti da (3.677),
j(j + 1) + s(s + 1) − k(k + 1)
. (3.677)
2j(j + 1)
g ′ =
(k + 1/2)(k + 3/2) + 3/4 − k(k + 1)
1 +
(2k + 1)(k + 3/2)
= 2k + 2
2k + 1
(3.678)
g ′′ =
(k − 1/2)(k + 1/2) + 3/4 − k(k + 1)
1 +
2(k − 1/2)(k + 1/2)
=
2k
,
2k + 1
(3.679)
in accordo con (3.671) e (3.672).
Consideriamo l’altro caso limite ɛ → ∞. Gli autovalori di S sono
infiniti del primo ordine; li svilupperemo fino al termine indipendente da
ɛ. Anche qui i due autovalori privilegiati (3.667) e (3.668) sono espressi
esattamente dallo sviluppo arrestato al secondo termine. Per gli autovalori
(3.670), avremo secondo il segno del radicale:
ℓ + 1
ɛ + ℓ −
2
1
(3.680)
2
ℓ − 1
ɛ − ℓ +
2
1
. (3.681)
2
342