Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Analogamente si trova:
Volumetto 3: 28 giugno 1929
γ2 = β2, δ1 = α1, δ2 = − α2.
si possono dunque scegliere ad arbitrio α1, α2, β1, β2 in modo che soddisfacciano
alla prima equazione e determinare le altre incognite in base
alle relazioni ora scritte: tutte le altre equazioni, compresa la seconda di
cui non si è tenuto espressamente conto, saranno allora automaticamente
soddisfatte. Porremo:
α1 = x, α2 = λ, β1 = − µ, β2 = ν,
in cui x, λ, µ, ν sono numeri reali qualunque soddisfacenti all’equazione:
x 2 + λ 2 + µ 2 + ν 2 = 1, (3.404)
e le componenti della più generale matrice unitaria con determinante 1
saranno:
α = x + i λ, β = − µ + i ν,
γ = − β ∗ = µ + i ν, δ = α ∗ = x − i λ.
(3.405)
Ogni trasformazione del gruppo è definita dai quattro numeri reali x, λ, µ,
ν; la indicheremo brevemente con
(x , λ , µ , ν) .
Consideriamo due trasformazioni del gruppo e il loro prodotto:
′ ′ ′ ′
x + i λ − µ + i ν
x + i λ − µ + i ν
A =
, B =
µ + i ν x − i λ
µ ′ + i ν ′
x ′ − i λ ′
′′ ′′ ′′ ′′
x + i λ − µ + i ν
A B =
,
cioè, posto:
segue:
µ ′′ + i ν ′′
x ′′ − i λ ′′
x ′′ = xx ′ − λλ ′ − µµ ′ − νν ′
λ ′′ = xλ ′ + λx ′ − µν ′ + νµ ′
µ ′′ = xµ ′ + λν ′ + µx ′ − νλ ′
ν ′′ = xν ′ − λµ ′ + µλ ′ + νx ′ ;
,
(3.406)
(x , λ , µ , ν) x ′ , λ ′ , µ ′ , ν ′ = x ′′ , λ ′′ , µ ′′ , ν ′′ , (3.407)
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