Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
che coincide con la regola di moltiplicazione dei quaternioni.
Consideriamo nello spazio a v + 1 = 2j + 1 dimensioni il vettore di
componenti
ξ r η v−r
, r = 0, 1, ..., v. (3.408)
f(v, r)
Una trasformazione del nostro gruppo cangi tale vettore nel vettore di
componenti:
ξ ′ r ′ v−r
η
, r = 0, 1, ..., v. (3.409)
f(v, r)
A causa delle equazioni (3.402), le componenti del vettore trasformate si
ottengono come combinazioni lineari di quelle del primo, e in verità in modo
unico perché i v + 1 monomi ξ r η v−r (r = 0, 1, . . . , v) sono linearmente
indipendenti. Si ha così una rappresentazione Dj a (2j + 1) dimensioni
del nostro gruppo. La stessa rappresentazione vale naturalmente anche
per il gruppo di tutte le trasformazioni del tipo (3.402), cioè per tutte le
trasformazioni lineari affini in due dimensioni, o per il sottogruppo O(2) di
tutte le trasformazioni lineari con determinante 1, di cui il nostro gruppo
U(2) è a sua volta sottogruppo. La funzione f(v, r) può determinarsi in
modo che le trasformazioni unitarie del gruppo U(2) siano rappresentate
con trasformazioni unitarie. A tal fine è necessario che:
r
|ξ r η v−r | 2
f 2 (v, r)
(3.410)
(supponiamo f reale) dipenda soltanto da |ξ| 2 + |η| 2 ; cioè, posto: |ξ| 2 = a
e |η| 2 = b, che
(3.411)
r
a r b v−r
f 2 (v, r)
sia una funzione di a + b. Basterà per ciò porre la prima quantità uguale
alla potenza v-esima della seconda, con che: 74
f(v, r) =
v
r
−1/2
= r!(v − r)!/v! (3.412)
o più semplicemente, poiché è sempre lecito moltiplicare f(v, r) per una
quantità costante (rispetto a r):
f(v, r) = r!(v − r)!. (3.413)
74 L’Autore vuole ottenere la formula per la potenza di un binomio.
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