Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

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si trova:
du
dt =
Se invece si pone 9
Volumetto 2: 23 aprile 1928
t = 1 − 1
x3 ϕ (2.109)
12
ϕ = exp
u(t) dt
16
3(1 − t) +
1
8 +
u
3(1 − t)
7
+ − 4t u
3 2 − 2
t(1 − t) u3
3
(2.110)
(2.111)
u(0) = ∞
t
(2.112)
ϕ = exp u(t) dt . (2.113)
1
t = 144 −1/6 x 1/2 ϕ 1/6
(2.114)
8L’Autore cerca una soluzione parametrica dell’equazione di Thomas-Fermi
nella forma
x = x(t), ϕ = ϕ(t),
dove t è un parametro. A questo punto, esegue il cambio di variabili rappresentato
dalle equazioni (2.109) e (2.110). Schematicamente, il metodo è allora
il seguente: Si considerino x e ϕ come funzioni di t, date rispettivamente dalle
equazioni (2.109) e (2.110) (in maniera implicita). Successivamente, si calcolino
da esse le loro derivate prime e seconde rispetto a t, e si sostituiscano i risultati
nell’equazione di Thomas-Fermi (2.108); si noti che questa equazione contiene
derivate di ϕ rispetto a x. Il risultato è un’equazione differenziale del primo-ordine
(del tipo di Abel) per la funzione incognita u(t), cioè la (2.111). Le condizioni ai
limiti (2.108) sono infine prese in considerazione nelle equazioni (2.112) e (2.113).
9Nel seguito di questo paragrafo vengono considerate solo le sostituzioni in
(2.114) e (2.115). Si noti che il metodo usato qui dall’Autore è alquanto differente
da quello precedente, sebbene sia molto simile. L’Autore considera la descrizione
parametrica di x e ϕ:
x = x(t), ϕ = ϕ(x(t))
(si noti che ora ϕ dipende da t solo tramite x). Quindi il problema viene riformulato
in termini di t e u(t) usando le equazioni (2.114) e (2.115). La procedura
adottata è la seguente: si calcola la derivata rispetto a t dell’equazione (2.115)
[considerando ϕ = ϕ(x(t))] e si sostituisce in essa l’equazione di Thomas-Fermi
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