Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 1: 8 marzo 1927
La componente Er del campo secondo il piano xy è diretta radialmente
e dipende, nel piano xy, dalla sola r. Avremo
Ex = x
Er, (1.168)
r
Ey = y
Er. (1.169)
r
Derivando e sostituendo nell’equazione di Laplace 12 si ricava
Er
r
∂Er
+
∂r
2πρ
= 1 +
R
3
r2 3 15 r4 3 15 35 r6
· + · · + · · · + . . . .
4 R2 4 16 R4 4 16 36 R6 (1.170)
Questa equazione permette di sviluppare in serie Er secondo le potenze di
r. Si ottiene:
Er = πρ
r +
R
1
3 r3 1 3 15 r5 1 3 15 35 r7
· · + · · · + · · · · + . . . .
2 4 R2 3 4 16 R4 4 4 16 36 R6 (1.171)
Il potenziale alla distanza r dal centro sarà:
r
V = V0 − Er dr
=
0
Q
2 −
R
1 r2 1 1 3 r4 1 1 3 15 r6
· − · · · − · · · ·
2 R2 2 22 4 R4 2 32 4 16 R6 − 1
=
1 3 15 35 r8
· · · · · + . . .
2 42 4 16 36 R8 Q
2 −
R
1
2 ·
2
r 1 3 r4 1 3 15 r6
+ · · + · · ·
R2 4 4 R4 9 4 16 R6 + 1
3 15 35 r8
· · · · + . . .
16 4 16 36 R8 = Q
R
2
π
π
Il potenziale VR alla periferia risulta:
VR = Q
2 −
R
1
4 −
2
8
π
0
1 + (r/R) cos α
1 + 2(r/R) cos α + (r 2 /R 2 ) dα. (1.172)
= Q
R
12 O, più precisamente, nella prima equazione di Maxwell.
37
4
π
Q
= 1.2732 . (1.173)
R