Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
E così ξ e η definiscono un vettore nello spazio a 2j + 1 dimensioni di
componenti:
ξ r η v−r
r!(v − r)! , r = 0, 1, . . . , v. (3.414)
Consideriamo la trasformazione:
(x, ɛa, ɛb, ɛc) . (3.415)
Dati ɛa, ɛb, ɛc resta determinato x a meno del segno che conveniamo di
scegliere positivo. Supponiamo che ɛ sia infinitesimo; x differirà dall’unità
per un infinitesimo di secondo ordine, onde
(x, ɛa, ɛb, ɛc) − (1, 0, 0, 0)
lim
ɛ→0
ɛ
= (0, a, b, c) . (3.416)
La trasformazione (0, a, b, c), la cui definizione risulta dalle equazioni (3.405),
è una “trasformazione infinitesima”. Essa non fa parte in generale di U(2),
ma è sempre multipla reale di una trasformazione unitaria con determinante
1. Al contrario apparterrà a U(2) la trasformazione:
(0,a,b,c) t
(x, λ, µ, ν) = e
(3.417)
dove t è un numero reale qualsiasi; si avrà cioè necessariamente: x 2 + λ 2 +
µ 2 + ν 2 = 1. Dati a, b, c, le quantità x, λ, µ, ν sono, a causa della (3.417)),
funzioni di t. E si avrà:
dx
cioè:
dx
dt
dλ
dt
dµ
dt
dt
, dλ
dt
dµ dν
, ,
dt dt
= − a λ − b µ − c ν
= (x, λ, µ, ν) (0, a, b, c)
= (0, a, b, c) (x, λ, µ, ν) , (3.418)
= a x − c µ + b ν = a x + c µ − b ν = a x (3.419)
= b x,
dν
dt
Derivando la prima rispetto a t:
= c x.
d 2 x
dt 2 = − a 2 + b 2 + c 2 x, (3.420)
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