Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
di (3.641) per i secondi membri delle (3.647) si ottengono le matrici di
polarizzazione relative al passaggio: j → j ′ = j − 1:
(qx + i qy) (m, m ′ ) = (j − m)(j − m ′ ) δm+1,m ′
(qx − i qy) (m, m ′ ) = (j + m)(j + m ′ ) δm−1,m ′ (3.653)
qz(m, m ′ ) = (j + m)(j − m) δm,m ′.
Per il secondo dei casi (3.639) si ottiene con procedimento analogo, moltiplicando
(3.641) con k = 2j − 1 = 2j ′ − 1, per i secondi membri delle
(3.648): j → j ′ = j = 0,
(qx + i qy) (m, m ′ ) = (j − m)(j + m ′ ) δm+1,m ′
(qx − i qy) (m, m ′ ) = (j + m)(j − m ′ ) δm−1,m ′
qz(m, m ′ ) = − m δm,m ′.
Queste formole coincidono con quelle (3.500) delle rotazioni elementari
−(Rx+iRy)/i, −(Rx−iRy)/i, −Rz/i nella rappresentazione Dj; e così deve
essere perché siffatte rotazioni elementari possono anche esse riguardarsi
come componenti di una grandezza vettoriale nello spazio delle rappresentazioni
Dj×Dj.
Nell’ultimo dei casi (3.639) occorre moltiplicare con k = 2j = 2j ′ − 2
per i secondi membri di (3.649); e si trova: j → j ′ = j + 1:
(qx + i qy) (m, m ′ ) = (j + m + 1)(j + m ′ + 1) δm+1,m ′
(qx − i qy) (m, m ′ ) = − (j − m + 1)(j − m ′ + 1) δm−1,m ′
qz(m, m ′ ) = (j + m + 1)(j − m + 1) δm,m ′.
Si osserverà che risultano soddisfatte le regole di selezione (3.640) per il
quanto magnetico. Allargando SO(3) in O(3) con l’inclusione delle rotazioni
improprie, si hanno le rappresentazioni irriducibili D +
j e D− j . Un
vettore polare quale è per esempio il momento elettrico è covariante della
specie D −
j e nelle sua matrice mancano le componenti nell’incrocio di due
spazi irriducibili R +
j e R+
j ′ oppure R −
j e R−
j ′; si ha così la regola di selezione
per la segnatura: j → −j e +j sono i soli passaggi permessi. La teoria
ondulatoria scalare dell’elettrone dà solo le rappresentazioni irriducibili univoche
(con j intero) per il gruppo O(3) e la segnatura (per la proprietà di
simmetria delle funzioni sferiche) è +1 per j pari e −1 per j dispari; cossicché
la regola di soluzione per le segnature esclude il passaggio j → j ′ = j;
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