Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
Assumiamo un nuovo sistema di assi e siano χ 1 , χ 2 , . . . , χ n , . . . i vettori
unitari diretti secondo i nuovi assi. L’operatore S che fa passare dai vettori
ψ ai vettori χ, si riduce ad una rotazione nel caso di assi reali. La sua
matrice è definita dalla relazione:
χ k = Sik ψ i (2.305)
e, per la (2.301), che vale anche quando a ψ si sostituisce χ:
Se S −1 è l’operatore inverso di S, avremo:
e, sostituendo nella (2.305):
Allora
Sik S ∗ il = δkl. (2.306)
ψ j = S −1
kj χ k (2.307)
χ k = Sik S −1
li χ l . (2.308)
Sik S −1
li = δkl, (2.309)
relazioni che sono soddisfatte se:
Infatti, in tal caso,
S −1
rs = S ∗ sr. (2.310)
Sik S −1
li = Sik S ∗ il. (2.311)
L’equazione (2.309) si deduce immediatamente dalla relazione
che si può scrivere appunto:
Dalla condizione (2.312), segue che
S −1 S = 1, (2.312)
S −1
li Sik = Sik S −1
li = δkl. (2.313)
Ski S −1
il = Ski S ∗ li = δkl, (2.314)
equazione analoga alla (2.306) ma riferita alle righe anziché alle colonne.
Riprendiamo la (2.304) e sostituiamo ai vettori ψ le loro espressioni
date dalla (2.307):
A S −1
rs χ r = Ars S −1
ir χ i ; (2.315)
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