Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 3: 28 giugno 1929
3.13 Gruppo delle trasformazioni unitarie
in due variabili
Consideriamo il gruppo U(2) delle trasformazioni unitarie in due variabili
ξ e η, con determinante 1. Se
α β
γ δ
è la matrice appartenente a una singola trasformazione, se cioè:
dovranno valere le relazioni:
Posto:
ξ ′ = α ξ + β η, η ′ = γ ξ + δ η, (3.402)
α ∗ α + β ∗ β = 1, α ∗ γ + β ∗ δ = 0,
γ ∗ γ + δ ∗ δ = 1, α δ − β γ = 1.
α = α1 + i α2, β = β1 + i β2,
γ = γ1 + i γ2, δ = δ1 + i δ2,
(3.403)
sostituendo nella (3.403) dovranno valere le relazioni, fra grandezze reali:
α 2 1 + α 2 2 + β 2 1 + β 2 2 = 1
γ 2 1 + γ 2 2 + δ 2 1 + δ 2 2 = 1
α1 γ1 + α2 γ2 + β1 δ1 + β2 δ2 = 0
α1 γ2 − α2 γ1 + β1 δ2 − β2 δ1 = 0
α1 δ1 − α2 δ2 − β1 γ1 + β2 γ2 = 1
α1 δ2 + α2 δ1 − β1 γ2 − β2 γ1 = 0.
Moltiplicando la terza equazione per α, la quarta per −α2, la quinta per
−β1, la sesta per −β2, e sommando si ha, tenuto conto della prima:
γ1 = − β1.
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