Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

Volumetto 2: 23 aprile 1928
2.34 Sulla ionizzazione spontanea di un
atomo di idrogeno posto in una
regione a potenziale elevato
Sia un atomo di idrogeno posto nel centro comune di due sfere di raggi
R e R + dR. Poniamo sulla prima la carica −Q ′ /dR e sulla seconda la
carica (Q ′ /dR) − e (poniamo Q ′ = QR); facciamo quindi tendere dR a
zero. L’elettrone dell’atomo sarà sottoposto al potenziale
⎧
⎨
⎩
V = e/x − A, x < R
V = 0, x > R
(2.495)
essendo x la distanza dal centro, e A = Q 2 /R 2 . 46 Assumiamo per semplicità,
come unità di lunghezza il raggio del primo cerchio di Bohr, come
unità di carica e e come unità d’azione /2π. La nostra unità d’energia
sarà me 4 / 2 = 4πRy, e quindi 1/(4πRy) è la nostra unità di tempo, Ry
essendo la frequenza di Rydberg. Inoltre, scegliamo la massa dell’elettrone
come unità di massa. L’equazione di Schrödinger nel caso di quanti azimutali
zero e ponendo χ = ψ/x, sarà:
χ ′′ + 2
E − A + 1
χ = 0, x < R
x
χ ′′ + 2E χ = 0, x > R.
(2.496)
Poniamo E − A = E1. Se l’atomo è nello stato normale sarà E1 prossimo
a −1/2. 47 Porremo:
− E1 = 1
2
1
+ α, (2.497)
2
46 Per ragioni dimensionali, questo valore è sbagliato. La costante A può essere
fissata richiedendo la continuità del potenziale; in questo caso abbiamo A = e/R.
47 L’energia dello stato fondamentale di un atomo di idrogeno è −e 2 /2aB, dove
aB è il raggio di Bohr. Nelle unità adottate, questa energia equivale a −1/2.
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