Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

ϕ m j,j+1
Volumetto 4: 24 aprile 1930
=
(j − m + 1)(j − m + 2)
ϕ m−1
j+1 ,
2(j + 1)(2j + 3)
(j + m + 1)(j − m + 1)
−
ϕ
(j + 1)(2j + 3)
m j+1,
(j + m + 1)(j + m + 2)
ϕ
2(j + 1)(2j + 3)
m+1
j+1 .
Le funzioni così ottenute sono normalizzate e danno luogo alle rappresentazioni
ordinarie dei momenti angolari. Le ϕ m l sono qui le ordinarie funzioni
sferiche normalizzate:
ϕ m l = 1
2 l l!
(2l + 1)(l + m)!
(sin θ)
4π(l − m)!
−m dl−m cos 2 θ − 1 l (d cos θ) l−m e imφ .
(4.378)
Fra le funzioni sferiche con spin ϕ m j,l appartenenti a determinati valori
di j e m e a l = j − 1, j, j + 1 passano relazioni di frequente uso.
Consideriamo ad esempio l’operatore:
sr = x y
sx +
r r
= 1
2
x − iy
r
sy + z
r sz
(sx + isy) + 1
2
x + iy
r
essendo al solito
sx =
⎛
⎝
0 1/ √ 1/
2 0
√ 2 0 1/ √ 0 1/
2
√ 2 0
⎞
⎠ , sy =
⎛
⎝
(sx − isy) + z
r sz, (4.379)
0 −i/ √ 2 0
i/ √ 2 0 −i/ √ 2
0 i/ √ 2 0
⎛
1 0 0
⎞
sz = ⎝ 0 0 0 ⎠ .
0 0 −1
(4.380)
Questo operatore è evidentemente scalare e quindi commutabile con j e m.
Si verificano le seguenti relazioni:
sr ϕ m j,j−1
=
j + 1
2j + 1 ϕm j,j
426
⎞
⎠ ,