Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

VOLUMETTO
3 28 giugno 1929
3.1 Somma di alcune serie
(17)
∞
r=1
ovvero, ponendo K = e −y ¿
Casi particolari:
(a) K=1:
∞
r=1
che è la formola (12).
(b) x = π/2:
1
r e−ry sin rx = arctan
K r
r
= arctan
= arctan
tan x/2
tanh y/2
sin x
e y − cos x
sin rx = arctan K sin x
1 − K cos x
∞
r=1
1 + K x
tan
1 − K 2
sin rx
r
= π
2
x
− , (3.1)
2
− x
. (3.2)
2
x
− ; (3.3)
2
K − 1
3 K3 + 1
5 K5 + . . . = arctan K. (3.4)
(c) da (a), ponendo x = π/4, si ricava con facili riduzioni:
2
3·5
− 2
7·9
+ 2
11·13
− 2
15·17
227
+ . . . = π
2 √ 2
− 1. (3.5)