Ettore Majorana: Appunti di Fisica Teorica - Università degli studi di ...

da cui si deduce facilmente:
lim
x→∞
(α > −2).
In particolare,
Volumetto 2: 23 aprile 1928
ϕ(0) + ϕ(3)x 3 + ϕ(6)x 6 + ϕ(9)x 9 + . . .
ϕ(α)x α + ϕ(α + 3)x α+3 + ϕ(α + 6)x α+6 + . . .
lim
x→∞
= lim
x→∞
ϕ(0) + ϕ(3)x 3 + ϕ(6)x 6 + ϕ(9)x 9 + . . .
ϕ(1)x + ϕ(4)x4 + ϕ(7)x7 + ϕ(10)x10 + . . .
M
ϕ(1) N
= 1 (2.82)
= 1, (2.83)
da cui λ = ϕ(1). Sotto forma di prodotto infinito [vedi la voce (3) nel
paragrafo 3.7]:
da cui si ricava
Abbiamo dunque
λ 3 = [ϕ(1)] 3 = 1
2 · 42 ·7
5 3 · 72 ·10
8 3 · 102 ·13
11 3 · 132 ·16
14 3 ·s, (2.84)
λ = ϕ(1) = 3√ 3 Γ(2/3)
Γ(1/3) =
3√ 3
2
(2/3)!
(1/3)!
= 0.729. (2.85)
F (x) = ϕ(0) − ϕ(1) x + ϕ(3) x 3 − ϕ(4) x 4 + ϕ(6) x 6 − ϕ(7) x 7 + . . .
(2.86)
Per x > 0 si ha sempre F (x) > 0; F ′ (x) < 0; F ′′ (x) > 0. Per x < 0 F si
annulla infinite volte. Badando all’equazione differenziale di F , si dimostra
ovviamente che se αn e αn+1 sono due zeri consecutivi con αn > αn+1 vale
la relazione
Segue:
αn − αn+1 = π √ ξ , essendo αn+1 < − ξ < αn. (2.87)
Sn+1 − Sn
h
=
Per grandi numeri quantici si avrà:
ξ1
, essendo αn+1 < − ξ1 < αn. (2.88)
ξ
(Sn+1 − Sn) /h = 1, (2.89)
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