Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

x Introducción
donde hemos despreciado el infinitésimo doble dxdy porque es infinitamente
menor que los infinitésimos simples xdy e ydx.
Es fácil imaginar que estos razonamientos infinitesimales despertaron sospechas
y polémicas. Baste citar el título del panfleto que en 1734 publicó el obispo
de Berkeley:
El analista, o discurso dirigido a un matemático infiel, donde se
examina si los objetos, principios e inferencias del análisis moderno
están formulados de manera más clara, o deducidos de manera más
evidente, que los misterios religiosos y los asuntos de la fe.
En esta fecha el cálculo infinitesimal tenía ya más de medio siglo de historia.
La razón por la que sobrevivió inmune a estas críticas yalavaguedad de sus
fundamentos es que muchos de sus razonamientos infinitesimales terminaban en
afirmaciones que no involucraban infinitésimos en absoluto, y que eran confirmados
por la física y la geometría. Por ejemplo, consideremos la circunferencia
formada por los puntos que satisfacen la ecuación
x 2 + y 2 =25.
Aplicando la regla del producto que hemos “demostrado” antes al caso en que
los dos factores son iguales obtenemos que dx 2 =2xdx e igualmente será dy 2 =
2ydy. Por otra parte, d25 = 0, pues al incrementar la variable x la constante
25 no se ve incrementada en absoluto. Si a esto añadimos que la diferencial de
una suma es la suma de las diferenciales resulta la ecuación diferencial
2xdx+2ydy=0,
de donde a su vez
dy
= −x
dx y .
Esto significa que si tomamos, por ejemplo, el punto (3, 4) de la circunferencia
e incrementamos infinitesimalmente su coordenada x, la coordenada y
disminuirá en3/4 dx. Notemos que esto es falso para cualquier incremento finito
de la variable x, por pequeño que sea, pues si valiera para incrementos suficientemente
pequeños resultaría que la circunferencia contendría un segmento de la
recta
y − 4=− 3
(x − 3),
4
lo cual no es el caso. Vemos que ésta se comporta igual que la circunferencia para
variaciones infinitesimales de sus variables alrededor del punto (3, 4), aunque
difiere de ella para cualquier variación finita. La interpretación geométrica es
que se trata de la recta tangente a la circunferencia por el punto (3, 4).
El argumento será nebuloso y discutible, pero lo aplastante del caso es que
nos proporciona un método sencillo para calcular la tangente a una circunferencia
por uno cualquiera de sus puntos. De hecho el método se aplica a cualquier
curva que pueda expresarse mediante una fórmula algebraica razonable, lo que