Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

9.2. El álgebra exterior 331
Definición 9.7 Sea E un espacio vectorial de dimensión n. Llamaremos paralelepípedos
orientados de E a las n-tuplas F =(v1,...,vn) ∈ E n . A cada F le
asociamos el paralelepípedo no orientado P (F ) dado por
P (F )={α1v1 + ···+ αnvn | α1,...,αn ∈ [0, 1]} ⊂E.
Si los vectores de F son linealmente dependientes diremos que el paralelepípedo
es degenerado.
Habiendo fijado una base en E (y considerando positiva a su orientación),
podemos dividir los paralelepípedos no degenerados en positiva y negativamente
orientados, según que sus vectores determinen una base con la orientación del
espacio o con la contraria (es decir, según si la matriz de cambio de base respecto
a la base prefijada tenga determinante positivo o negativo).
Si E es un espacio euclídeo, es claro que la medida de Lebesgue de P (F )
se puede calcular como el valor absoluto del determinante de las coordenadas
de los vectores de F en cualquier base ortonormal B de E (pues estas coordenadas
son sus imágenes a través de la isometría de E en R n que transforma B
en la base canónica). Si suprimimos este valor absoluto tenemos una “medida
orientada”, que ya no es función de P (F ), sino del paralelepípedo orientado F ,
y además depende de la base ortonormal B seleccionada. En efecto, la medida
orientada es igual a la medida de P (F ) si los vectores de F forman una base de
E con la misma orientación que B y es dicha medida cambiada de signo en caso
contrario. Si elegimos B con la misma orientación que la base (v1,...,vn) prefijada,
entonces podemos considerar que el signo de la medida orientada depende
de esta base y, por consiguiente, de la orientación que le hemos dado a E. El
inconveniente de que la medida dependa de la orientación se ve compensado con
creces por el hecho de que la medida orientada sea esencialmente un determinante
y, por lo tanto, una forma multilineal alternada de E n en R. Las formas
multilineales alternadas en un espacio euclídeo resultan ser el equivalente a las
diferenciales de funciones en el caso de una variable.
Definición 9.8 Sea E un espacio vectorial euclídeo de dimensión n. Llamaremos
k-formas diferenciales (constantes) de E (o formas de grado k) a las
aplicaciones multilineales alternadas ω : E k −→ R.
Multilineal quiere decir que
ω(u1,...,αui + βu ′ i,...,uk) =αω(u1,...,ui,...,uk)+βω(u1,...,u ′ i,...,uk)
para todo i =1,...,n y alternada quiere decir que al permutar dos vectores el
valor de la forma cambia de signo o, más en general, que si σ es una permutación
de {1,...,k}, se cumple
ω(u σ(1),...,u σ(k)) = sig σω(u1,...,uk),
donde sig σ es la signatura de la permutación.
Llamaremos A k (E) al conjunto de todas las k-formas de E. Claramente
forman un espacio vectorial con la suma y el producto definidos puntualmente.