Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

5.2. Espacios tangentes, diferenciales 209
es un difeomorfismo. Notemos que si x = (cos u, sen u), y = (cos v, sen v), entonces
f(x, y) =X(u, v). Teniendo esto en cuenta es fácil ver que f es biyectiva.
Además es diferenciable porque sus funciones coordenadas son polinómicas (es
la restricción de una función diferenciable en R 4 ). En un entorno de cada punto
de T , la función f −1 puede expresarse como (cos u, sen u, cos v, sen v), donde u,
v son las funciones coordenadas de la carta de T alrededor de punto obtenida
por restricción de X. Por consiguiente f es un difeomorfismo.
Ejercicio: Probar que un cilindro es difeomorfo al producto de un segmento por una
circunferencia y que una bola abierta menos su centro es difeomorfa al producto de
un segmento por una esfera.
Definición 5.14 Sea f : S −→ R una función definida sobre una variedad y
sea p ∈ S un punto donde f sea diferenciable. Sea X una carta de S alrededor
de p y sean x1,...,xn sus coordenadas asociadas. Definimos la derivada parcial
de f respecto a xi en p como
∂f
(p) =df (p)
∂xi
DiX(x) ,
donde x es el vector de coordenadas de p en la carta dada.
Es claro que esta noción de derivada parcial generaliza a la que ya teníamos
para el caso de funciones definidas en abiertos de R n . En el caso general sea
j = X ◦ f. Según la definición de df (p) resulta que
∂f
(p) =dj(x)(ei) =
∂xi
∂j
(x),
∂xi
donde ei es el i-ésimo vector de la base canónica de Rn .Sifes diferenciable en
un entorno de p tenemos
∂f
= X
∂xi
−1 ◦ ∂j
.
∂xi
Ahora es claro que una función f es de clase Cq en S si y sólo si tiene
derivadas parciales continuas de orden q.
Puesto que dx1(p),...,dxn(p) es la base dual de D1X(x),...,DnX(x), de
la propia definición de derivada parcial se sigue que
df = ∂f
dx1 + ···+
∂x1
∂f
dxn.
∂xx
También es fácil ver que las reglas usuales de derivación de sumas y productos
siguen siendo válidas, así como el teorema de Schwarz. Además
∂xj 1 si i = j
=
∂xi 0 si i = j.
Es importante observar que la derivada de una función f respecto a una
coordenada xi no depende sólo de f y xi, sino de la carta de la cual forma