Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

328 Capítulo 9. Formas diferenciales
Sumando las ecuaciones análogas para los otros dos triángulos adyacentes
llegamos a que
3m(T )+m(Ta)+m(Tb)+m(Tc) =2α +2β +2γ.
Pero m(T )+m(Ta)+m(Tb)+m(Tc) =2π, pues es el área del plano completo,
y por consiguiente
m(T )=α + β + γ − π.
Esto nos da una demostración analítica de que la suma de los ángulos de un
triángulo elíptico es siempre mayor que π.
*Ejemplo Consideremos ahora el plano hiperbólico. Según (4.6), el elemento
de longitud hiperbólica en coordenadas polares es
ds 2 = dρ 2 + senh 2 ρdθ 2 ,
luego el elemento de área es dσ = senh ρ. El área de un círculo hiperbólico de
radio r es r
2π senh ρdρ=2π(cosh r − 1) = 4π senh 2 r
2 .
0
Consideremos ahora un triángulo rectángulo como indica la
figura. Tomemos como origen de las coordenadas polares
el vértice A. Para hallar su área hemos de integrar dσ
variando θ entre 0 y α y, para un θ dado, en virtud de la
relación trigonométrica
tanh b = cos θ tanh ρ.
vemos que ρ ha de llegar hasta
Por lo tanto el área es
α argtanh(tanh b/ cos θ)
0
α
0
0
=
α
0
⎛
⎝
argtanh
tanh b
cos θ .
senh ρ dρdθ =
cos θ
α
(cos 2 θ − 1)+(1− tanh 2 b)
0
⎛
⎝
1
1 − tanh2 b
cos2 ⎞
θ
− 1⎠
dθ
⎞
− 1⎠
dθ
cosh b cos θ
− 1 dθ = arcsen(cosh b sen α) − α
1 − (cosh b sen θ) 2
= arcsen cos β − α = π
− β − α = π − α − β − γ.
2
θ
c
b
ρ
a