Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

12.2. Funciones holomorfas 431
= 1
2πi |ζ−z0|=ρ2
= 1
2πi
f(ζ)
1
dζ −
(ζ − z0) − (z − z0) 2πi |ζ−z0|=ρ1
|ζ−z0|=ρ2
=
+
f(ζ)
ζ − z0
dζ
1 − z−z0
ζ−z0
1
2πi |ζ−z0|=ρ2
1
2πi
|z−z0|=ρ1
+ 1
2πi
|ζ−z0|=ρ1
f(ζ)
(ζ − z0) − (z − z0) dζ
f(ζ)
z − z0
∞
n f(ζ) z − z0
dζ
ζ − z0 ζ − z0
n=0
∞
n f(ζ) ζ − z0
dζ.
z − z0 z − z0
n=0
dζ
1 − ζ−z0
z−z0
Para intercambiar las sumas con las integrales hemos de justificar que las
series convergen uniformemente en las circunferencias. Esto se sigue del criterio
de mayoración de Weierstrass. Por ejemplo, para la primera tenemos
n
f(ζ) z − z0
≤
ζ − z0 ζ − z0
M
n |z − z0|
ρ2 ρ2
y la sucesión de la derecha es una progresión geométrica de razón menor que 1,
luego determina una serie convergente. Con la segunda serie se razona igual-
mente. Así pues,
f(z) =
+
=
∞
n=0
∞
n=0
+∞
1
f(ζ)
2πi |ζ−z0|=ρ2 (ζ − z0) n+1dζ
(z − z0) n
1
2πi
n=−∞
|ζ−z0|=ρ2
an(z − z0) n .
f(ζ)(ζ − z0) n
dζ (z − z0) −n−1
Definición 12.17 Sea f :Ω−→ C una función holomorfa. Diremos que un
punto z0 es una singularidad aislada de f si Br(z0) \{z0} ⊂Ω para cierto radio
r>0.
Es decir, z0 es una singularidad aislada de f si f está definida alrededor de
z0 (pero tal vez no en z0). Puesto que Br(z0) \{z0} = A(z0, 0,r), el teorema
anterior implica que f admite un desarrollo en serie de Laurent
f(z) =
+∞
n=−∞
an(z − z0) n , para 0 < |z − z0|