Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

414 Capítulo 11. Cohomología de De Rham
Nota A la hora de dar aplicaciones, resulta conveniente observar que las
hipótesis de diferenciabilidad pueden relajarse considerablemente. En efecto,
en las secciones anteriores hemos trabajado únicamente con formas de clase C ∞
para que las cuestiones técnicas sobre diferenciabilidad no ocultaran las ideas
fundamentales de la cohomología. No obstante, si S es una variedad de clase C ∞
(no vale la pena relajar esta hipótesis) podemos tomar como Λ(S) elálgebra de
las formas diferenciales continuas y definir Z k (S) como el espacio de k-formas de
clase C 1 con diferencial nula, F k (S) como el espacio de las diferenciales de k+1formas
de clase C 2 y H k (S) como el correspondiente espacio cociente. En estas
condiciones Λ(S) no se ajusta a la definición de complejo, pues la diferencial
sólo está definida en un subespacio de cada Λ k (S), el formado por las k-formas
de clase C 1 , pero si el lector repasa las pruebas anteriores se convencerá de
que todos los resultados valen en este contexto. 5 Así pues, cuando H k (S) =0
podemos asegurar que las k-formas cerradas de clase C 1 son exactas.
La aplicación más elemental es la siguiente:
Teorema 11.15 Sea U un abierto en R n tal que H 1 (U) =0. Entonces un
campo F : U −→ R n de clase C 1 es de la forma F = ∇f para una cierta
función f : U −→ R si y sólo si
∂Fi
=
∂xj
∂Fj
, para 1 ≤ i