Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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80 Capítulo 2. Compacidad, conexión y completitud a) Si {an} ∞ n=0 tiene un punto adherente L, entonces converge a L. b) La sucesión {an} ∞ n=0 está acotada. Demostración: a) Dado ɛ>0, existe un número natural a partir del cual d(am,an)
2.3. Espacios completos 81 Obviamente todo espacio compacto es precompacto (basta extraer un subcubrimiento finito del cubrimiento formado por todas las bolas de radio ɛ). El teorema 2.7 contiene la demostración de que un espacio precompacto y completo es compacto. En efecto partiendo de la hipótesis sobre subsucesiones convergentes, en primer lugar se prueba que el espacio es precompacto. Con ayuda de la precompacidad se construye una sucesión de bolas B 1/(n+1)(xn) en las que podemos exigir que cada una de ellas corte a la anterior. Esto garantiza que la sucesión de los centros es de Cauchy, con lo que podemos garantizar su convergencia por la completitud y probamos la compacidad del espacio. Así pues: Teorema 2.34 Un espacio métrico es compacto si y sólo si es precompacto y completo. Es muy importante tener claro que la completitud es una propiedad métrica y no topológica. Por ejemplo, los espacios R y]−1, 1[ son homeomorfos, pero uno es completo y el otro no. En particular una imagen continua de un espacio completo no tiene por qué ser completo. Si analizamos lo que falla, vemos que en ]−1, 1[ hay sucesiones de Cauchy no convergentes, por ejemplo las que convergen a1enR, pero cuando las transformamos por el homeomorfismo entre ]−1, 1[ y R se convierten en sucesiones que tienden a +∞, que ya no son de Cauchy, luego no violan la completitud de R. El problema es que mientras una aplicación continua transforma sucesiones convergentes en sucesiones convergentes, no transforma necesariamente sucesiones de Cauchy en sucesiones de Cauchy. Y a su vez esto se debe a que si se estira infinitamente una sucesión de Cauchy, ésta deja de serlo. Esto nos lleva a conjeturar que la completitud se conservará por aplicaciones continuas que no produzcan estiramientos infinitos. Vamos a definir este tipo de aplicaciones. Definición 2.35 Una aplicación f : M −→ N entre espacios métricos es uniformemente continua si para todo ɛ>0 existe un δ>0demodo que si x, y ∈ M cumplen d(x, y) 0 tal que si y ∈ M cumple d(x, y)
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