Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

432 Capítulo 12. Funciones Harmónicas
entendiendo que o(f,z0) =+∞ si an = 0 para todo n y o(f,z0) =−∞ si hay
coeficientes a−n = 0 para n arbitrariamente grande.
Veamos la información que nos da el orden de una singularidad aislada. Si
o(f,z0) ≥ 0 entonces la serie de Laurent es en realidad una serie de potencias,
definida también en z0, por lo que f se extiende a una función holomorfa en
Ω ∪{z0}. Concretamente f(z0) =a0. Más en general, la fórmula de Cauchy nos
da que si n ≥ 0 entonces
an = 1
f(ζ)
2πi |ζ−z0|=r (ζ − z0) n+1dζ = f n) (z0)
.
n!
Por consiguiente el desarrollo de Laurent de f es
f(z) =
∞
n=0
f n) (z0)
n!
(z − z0) n ,
es decir, la serie de Laurent de f es precisamente su serie de Taylor. Ahora
sabemos que la serie converge a f en todo disco abierto de centro z0 contenido
en Ω. Cuando o(f,z0) ≥ 0 se dice que z0 es una singularidad evitable de f.
En general, si o(f,z0) =n ∈ Z, podemos extraer un término (z − z0) n de
la serie de Laurent, de modo que nos queda una serie de potencias con primer
coeficiente no nulo, es decir, f(z) =(z− z0) ng(z), donde g(z) es una función
holomorfa definida en un entorno de z0 y tal que g(z0) = 0. La unicidad de la
serie de Laurent implica fácilmente que esta descomposición es única.
Si o(f,z0) =n>0 se dice que z0 es un cero de orden n de f. Notemos
que si f es un polinomio este concepto de orden de un cero coincide con la
multiplicidad de una raíz. Si o(f,z0) =−n