Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

3.3. Propiedades de las funciones derivables 109
f(x)
f ′ (x)
7.5
5
2.5
-4 -2 2 4
-2.5
-5
-7.5
En los puntos donde f ′ es positiva la tangente a f tiene pendiente positiva,
y vemos en la gráfica que esto se traduce en que f es creciente. Por el contrario,
en los intervalos donde f ′ es negativa la función f es decreciente.
En los puntos donde f ′ se anula la tangente a f es horizontal. En − √ 3, la
derivada pasa de ser positiva a ser negativa, luego f pasa de ser creciente a ser
decreciente, y por ello el punto es un máximo relativo, en el sentido de que f
toma en − √ 3 un valor mayor que en los puntos de alrededor. En cambio, en
√ 3 la derivada pasa de negativa a positiva, f pasa de decreciente a creciente y
el punto es un mínimo relativo. El caso del 0 es distinto, pues f ′ es negativa a
la izquierda, toca el 0 y vuelve a bajar, con lo que sigue siendo negativa. Por
ello f es creciente en 0 y no tiene ni un máximo ni un mínimo en 0.
Vemos así que conociendo la derivada podemos formarnos una idea de la
función: dónde crece, dónde decrece, dónde tiene máximos y mínimos, y más
cosas de las que no hemos hablado. Vamos a desarrollar todas estas ideas.
Definición 3.8 Sea f : A ⊂ R −→ R. Diremos que f tiene un máximo relativo
en un punto a ∈ A si existe un entorno V de a contenido en A de modo que para
todo x ∈ V se cumple f(x) ≤ f(a). Diremos que f tiene un mínimo relativo en
a si existe un entorno V de a contenido en A tal que para todo x ∈ V se cumple
f(a) ≤ f(x). La función f tiene un extremo relativo en a si tiene un máximo o
un mínimo relativo en a.
Teorema 3.9 Si f : A −→ R es una función derivable en un punto a ∈ A y f
tiene un extremo relativo en a, entonces f ′ (a) =0.
Demostración: Supongamos, por reducción al absurdo, que f ′ (a) > 0.
(El caso f ′ (a) < 0 se razona análogamente.) Entonces ]0, +∞[ es un entorno de
f ′ (a), luego por definición de límite y de derivada existe un ɛ>0 de manera
que ]a − ɛ, a + ɛ[ ⊂ A ysi0< |h| 0.