Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10.1. Variedades con frontera 359
En el resto de la sección la palabra “variedad” hará referencia a variedades
con frontera. Veamos en primer lugar que el teorema 5.4 vale también para
variedades con frontera, es decir, que si X : U −→ S es una carta de una
variedad S de clase C q y u0 ∈ U, entonces existe un entorno G de u0 en R n ,un
entorno V de X(u0) enR m y una aplicación g : V −→ G de clase C q tal que
(X|G∩U ) −1 = g|V ∩S.
En efecto, tenemos que JX(u0) tiene rango máximo, luego n de sus filas
tienen determinante no nulo. Por simplicidad podemos suponer que son las
primeras. Entonces X(u) = X1(u),X2(u) , donde X1 tiene las n primeras
coordenadas de X y X2 las restantes, de modo que JX1(u0) tiene determinante
no nulo. La función X se extiende a una función de clase C q en un entorno de
u0 en R n , luego lo mismo le ocurre a X1. Sea ¯ X1 una extensión. Por el teorema
de inyectividad local y el teorema de la función inversa obtenemos un entorno
G de u0 en R n de modo que W = ¯ X1[G] es abierto en R n , ¯ X1|G : G −→ W es
biyectiva y ( ¯ X1|G) −1 es de clase C q .
Sea V ′ un abierto en R m tal que X[U] = V ′ ∩ S, sea π : R m −→ R n
la proyección en las n primeras componentes, sea V = π −1 [W ] ∩ V ′ y sea
g = π ◦ ( ¯ X1|G) −1 , que es una función de clase C q . Claramente X(u0) ∈ V .
Si p ∈ V ∩ S ⊂ V ′ ∩ S entonces p = X(u), para un cierto u ∈ U, además
X1(u) ∈ W , luego u ∈ G ∩ U yasí p ∈ X[G ∩ U].
Recíprocamente, si X(u) ∈ X[G ∩ U], entonces X1(u) ∈ W , luego tenemos
X(u) ∈ V ∩ S y
g X(u) =( ¯ X1|G) −1 X1(u) = u =(X|G∩U ) −1 X(u) .
Así concluimos que (X|G∩U ) −1 = g|V ∩S.
Con esto la prueba del teorema 5.5 se adapta fácilmente para probar la
versión para variedades con frontera:
Teorema 10.3 Sea S ⊂ R m una variedad de dimensión n y de clase C q . Sea
p ∈ S y X : U −→ S ∩ V , Y : U ′ −→ S ∩ V ′ dos cartas alrededor de p. Sean
V0 = V ∩ V ′ , U0 = X −1 [V0], U ′ 0 = Y −1 [V0]. Entonces U0 y U ′ 0 son abiertos en
semiespacios de R n y la aplicación X ◦ Y −1 : U0 −→ U ′ 0 es biyectiva, de clase
C q y con determinante jacobiano no nulo, con lo que su inversa es también de
clase C q .
Definición 10.4 Sea S una variedad con frontera. Un punto p ∈ S es un punto
frontera de S si cuando X : U −→ S es una carta alrededor de p entonces las
coordenadas X −1 (p) son un punto frontera de U. Por el teorema anterior esto
no depende de la elección de la carta. Llamaremos frontera de S al conjunto ∂S
de puntos frontera de S.
Es claro que ∂S es cerrado en S (quizá vacío) y que S \ ∂S es una variedad
en el sentido del capítulo V. De este modo las variedades sin frontera coinciden
con las variedades con frontera cuya frontera es vacía.
A partir de aquí toda la teoría de variedades diferenciales se generaliza sin
dificultad para el caso de variedades con frontera: podemos definir los espacios