Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

218 Capítulo 5. Introducción a las variedades diferenciables
aceleración normal, cuyo módulo es v 2 κg. Un habitante del planeta S que “crea”
vivir en Tp(S) confundirá la aceleración geodésica, el vector normal geodésico y
la curvatura geodésica de α con la aceleración, el vector normal y la curvatura
de α. Por lo tanto llamará rectas a las curvas sin aceleración geodésica:
Definición 5.22 Una curva α contenida en una variedad S es una geodésica 6 si
cumple κg = 0, o equivalentemente, si Dα ′ es proporcional a α ′ en cada punto.
En tal caso el factor de proporcionalidad es simplemente a = s ′′ (t), donde s es
la longitud de arco, por lo que si α está parametrizada por el arco entonces α
es una geodésica si y sólo si Dα ′ =0.
Vamos a particularizar las ecuaciones que determinan la derivada covariante
de un campo al caso de la aceleración geodésica de una curva. Si α(t) =X(x(t)),
entonces
α ′ n
(t) = DiX(x(t))x ′ i(t),
i=1
luego si en (5.5) hacemos V = α ′ tenemos ai = x ′ i , luego la fórmula (5.8) se
convierte en
El vector
DV =
n
k=1
x ′′
k +
x ′′
k +
n
i,j=1
n
i,j=1
Γ k ijx ′ ix ′ j
Γ k ijx ′ ix ′ j
n
k=1
DkX.
es la antiimagen por dX de Dα ′ , es decir, la representación en el mapa de la
aceleración geodésica de α. Lo llamaremos expresión en coordenadas de dicha
aceleración geodésica.
La condición necesaria y suficiente para que una curva parametrizada por el
arco de coordenadas x(s) sea una geodésica es
x ′′
k +
n
i,j=1
Γ k ijx ′ ix ′ j =0, k =1,...,n. (5.10)
Si la parametrización es arbitraria sólo hemos de exigir que el vector formado
por los miembros izquierdos sea proporcional a x ′ .
Ejemplo Si una carta X(u, v) de una superficie S ⊂ R 3 cumple F = 0, las
ecuaciones (5.9) se reducen a
Γ 1 11 = Eu
2E , Γ211 = − Ev
2G , Γ112 = Ev
2E ,
Γ 2 12 = Gu
2G , Γ122 = − Gu
2E , Γ2 22 = Gv
2G
. (5.11)
6 Deberíamos decir “recta geodésica”, es decir, el equivalente en S a una recta, pero es
preferible contraer el término pues, al fin y al cabo, normalmente las geodésicas no son rectas.