Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

11.4. Aplicaciones al cálculo vectorial 413
Esta expresión no depende más que de ω salvo por el hecho de que hemos
escogido la antiimagen q ′ de p ′ . Sólo hay otra alternativa, pues p ′ no tiene
más antiimágenes que q ′ y J(q ′ ). Ahora bien, si en (11.3) sustituimos q ′ por
J(q ′ ) el miembro derecho se convierte en ω(J(q ′ )) actuando sobre los vectores
dπ(J(q ′ )) −1 (vi), pero se cumple que J ◦ π = π, y por consiguiente dπ(q ′ )=
dJ(q ′ )◦dπ(J(q ′ )), luego dπ(J(q ′ )) −1 (vi) =dJ(q ′ ) dπ(q ′ ) −1 (vi) y, en definitiva,
el miembro derecho de (11.3) se transforma en ω(J(q ′ )) actuando sobre los
vectores dJ(q ′ ) dπ(q ′ ) −1 (vi) , pero esto es lo mismo que
J ♯ (ω)(q ′ )(dπ(q ′ ) −1 (v1),...,dπ(q ′ ) −1 (vk)),
que da el mismo resultado, porque ω ∈ Λ+(S).
De este modo, para cada punto p ∈ P hemos construido una forma ωp en
un entorno que al actuar sobre un punto q ′ cualquiera da un resultado que sólo
depende de ω. Por lo tanto, dos formas ωp y ωp ′ coincidirán en su dominio
común, luego la familia de formas que hemos definido determinan una única
forma ω∗ ∈ Λp(P ), que en un entorno de cada punto viene dada por (11.3). Es
inmediato que π♯ (ω∗ )=ω.
*Ejemplo El espacio proyectivo Pn (R) puede identificarse con el espacio que
resulta de identificar cada punto de Sn con su antípoda. Como ya hemos comentado
en el caso del plano, para considerarlo como variedad diferenciable
necesitaríamos un concepto más abstracto de variedad que no exija que las
variedades estén contenidas en Rm . De todos modos, Pn (R) está localmente
contenido en Rn+1 , en el sentido de que una carta de Sn que no cubra más de
un hemisferio puede considerarse una carta de Pn (R), lo que nos permite definir
el espacio tangente de cada punto y, en general, todos los conceptos asociados
a las variedades diferenciales. No vamos a entrar en detalles, pero si aceptamos
que la proyección π : Sn −→ Pn (R) que a cada par de puntos antípodas les
asigna una misma imagen en el espacio proyectivo es un difeomorfismo local,
entonces el teorema anterior nos proporciona la cohomología de los espacios
proyectivos, que resulta ser:
H 0 P n (R) = R, H k P n (R) =0, 1 ≤ k