Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

9.1. Integración en variedades 327
Ejemplo Vamos a calcular el área la superficie de revolución determinada por
Sabemos que
Por lo tanto
A =
2π u1
0
u0
X =(r(u) cos v, r(u) sen v, z(u) .
E = r ′ (u) 2 + z ′ (u) 2 , F =0, G = r(u) 2 .
r(u) r ′ (u) 2 + z ′ (u) 2 u1
dudv =2π
Si en particular z(u) =u, lafórmula se reduce a
u1
A =2π r(u)|r ′ (u)| du.
es
Por ejemplo, el área de la esfera
u0
u0
r(u) r ′ (u) 2 + z ′ (u) 2 du.
g(φ, θ) =(R sen φ cos θ, R sen φ sen θ, R cos φ), φ ∈ ]0,π[ ,θ ∈ ]0, 2π[ .
A =2π
π
R
0
2 sen φdφ=4πR 2 .
Más detalladamente, si hacemos ρ = Rφ entonces ρ es la distancia del punto
(ρ, θ) al polo norte y las coordenadas
x = R sen ρ
ρ
ρ
cos θ, y = R sen sen θ, z = R cos
R R R ,
son el análogo esférico a las coordenadas polares en el plano. El área de un
círculo esférico de radio (esférico) r es
r
Ar =2π R 2 sen ρ
dρ =2πR2 1 − cos
R r
=4πR
R
2 2 r
sen
2R .
0
Así, si r = πR recuperamos el área de la esfera 4πR 2 ,sir es pequeño con
respecto a R entonces sen(r/R) ≈ r/R y por consiguiente Ar ≈ πr 2 ,elárea del
círculo plano del mismo radio.
*Ejemplo El ejemplo anterior particularizado a R = 1 nos da que el área de
un círculo elíptico de radio r es 4π sen 2 (r/2). En particular el área del plano
elíptico completo es 2π. Es fácil ver que el área de un bilátero de ángulo α es
2α. Dado un triángulo elíptico T de lados a, b, c yángulos α, β, γ, el plano
elíptico es la unión de T y sus tres triángulos adyacentes. Si llamamos Ta al
triángulo adyacente por el lado a, tenemos que T ∪ Ta forman un bilátero de
ángulo α, luego
m(T )+m(Ta) =2α.