Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

2.3. Espacios completos 79
el vector nulo si v y w son dependientes o bien el vector perpendicular a ambos
cuyo módulo es el que hemos calculado y cuyo sentido es el necesario para que
la base (v, w, v ∧ w) sea positiva.
Para terminar daremos una interpretación intuitiva del módulo del producto
vectorial de dos vectores u y v. Se trata claramente del área del paralelogramo
que los tiene por lados:
u
v
2.3 Espacios completos
u sen uv
La última propiedad que vamos a estudiar no es topológica, sino métrica.
La completitud garantiza la convergencia de ciertas sucesiones sin necesidad de
conocer su límite de antemano. Ya hemos encontrado algunos casos, como el de
las sucesiones monótonas en R, o las monótonas y acotadas en R. Los criterios de
este son muy útiles porque permiten definir nuevas funciones y constantes como
límites de sucesiones. Comenzamos introduciendo una familia de sucesiones en
un espacio métrico que incluye a todas las convergentes:
Definición 2.29 Sea M un espacio métrico. Una sucesión {an} ∞ n=0 en M es
una sucesión de Cauchy si para todo ɛ>0 existe un natural n0 de modo que si
m, n ≥ n0, entonces d(am,an) 0 existe un natural n0 de modo
que para todo n ≥ n0 se cumple d(an,L)