Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

6.2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 245
continuidad a sus extremos, o de lo contrario podríamos usar el teorema de
existencia para prolongar la solución un poco más tomando como condiciones
iniciales los valores en dicho extremo. Si el dominio de la solución máxima está
acotado superior o inferiormente, ello se debe necesariamente a que la curva
obtenida tiende a infinito en el extremo o bien se acerca a la frontera del abierto
donde está definido el problema. No entraremos en detalles sobre esto.
Como ejemplo de aplicación del teorema anterior demostramos lo siguiente:
Teorema 6.10 Dadas dos funciones κ, τ : I −→ R de clase C 2 de modo que
κ ≥ 0 y un punto t0 ∈ I, existe una curva regular x :]t0 − ɛ, t0 + ɛ[ −→ R 3
parametrizada por el arco tal que κ y τ son respectivamente su curvatura y su
torsión. La curva es única salvo isometrías.
Demostración: La unicidad nos la da el teorema 4.23. Para probar la
existencia consideramos el sistema de ecuaciones diferenciales determinado por
las fórmulas de Frenet:
T ′ = κN, N ′ = −κT − τB, B ′ = τN.
Se trata de un sistema de nueve ecuaciones diferenciales con incógnitas las
nueve funciones coordenadas de T , N y B. Tomamos unas condiciones iniciales
cualesquiera T0, N0, B0 tales que formen una base ortonormal positivamente
orientada. Por el teorema anterior existen unas únicas funciones (T,B,N) que
satisfacen las ecuaciones. Un simple cálculo nos da
(TN) ′ = κNN − κT T − τTB, (TB) ′ = κNB + τTN,
(NB) ′ = −κT B − τBB + τNN (TT) ′ = 2κT N,
(NN) ′ = −2κT N − 2τNB (BB) ′ = 2τNB.
Vemos que las seis funciones TN, TB, NB, TT, NN, BB satisfacen un
sistema de ecuaciones diferenciales con la condición inicial (0, 0, 0, 1, 1, 1) que por
otra parte es claro que tiene por solución a la función constante (0, 0, 0, 1, 1, 1).
La unicidad implica que (T,N,B) es una base ortonormal de R3 .
Definimos
s
x(s) = T (s) ds.
t0
Entonces es claro que x ′ (s) =T (s), luego en particular x está parametrizada
por el arco. Además x ′′ (s) =κN, luego κ es la curvatura de x. Un simple cálculo
nos da que la torsión es τ.
Veamos ahora una aplicación a las variedades diferenciables. Sea S ⊂ Rm una variedad de dimensión n y α : I −→ S una curva parametrizada por el
arco. Sea α(s0) =p. Sea X una carta de S alrededor de p. Entonces α tiene
asociada una representación en la carta x(s) demodoqueα(s) =X x(s) .Un
vector arbitrario w0 ∈ Tp(S) es de la forma w0 = dX(x(s0))(a0). Teniendo en
cuenta las ecuaciones (5.8) del capítulo anterior es claro que la solución a(s) del
problema
n
a ′ k +
i,j=1
aiΓ k ijx ′ j =0