Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

10 Capítulo 1. Topología
El conjunto vacío es abierto trivialmente (o si se prefiere, por definición). El
conjunto X es abierto por la propiedad a).
La unión de abiertos es obviamente abierta (una unión de uniones de elementos
de B es al fin y al cabo una unión de elementos de B).
Sean G1 y G2 abiertos y supongamos que x ∈ G1 ∩G2. Como G1 es unión de
elementos de B existe un U ∈ B tal que x ∈ U ⊂ G1. Similarmente x ∈ V ⊂ G2
con V ∈ B. Por la propiedad b) existe W ∈ B tal que x ∈ W ⊂ U ∩V ⊂ G1∩G2.
Así pues, x está en la unión de los conjuntos W ∈ B tales que W ⊂ G1 ∩ G2, y
la otra inclusión es obvia, luego G1 ∩ G2 es unión de elementos de B.
El teorema siguiente nos da las condiciones que hemos de comprobar para
definir una topología a partir de una familia de bases de entornos abiertos.
Teorema 1.15 Sea X un conjunto y para cada x ∈ X sea Bx una familia no
vacía de subconjuntos de X tal que:
a) Si U ∈ Bx, entonces x ∈ U.
b) Si U, V ∈ Bx, existe un W ∈ Bx tal que W ⊂ U ∩ V .
c) Si x ∈ U ∈ By, existe un V ∈ Bx tal que V ⊂ U.
Entonces existe una única topología para la cual cada Bx es una base de entornos
abiertos de x.
Demostración: Sea B =
Bx. Veamos que B cumple las condiciones
x∈X
del teorema anterior para ser base de una topología en X. Por la condición a)
tenemos que X =
B.
B∈B
Si U, V ∈ B y x ∈ U ∩ V , entonces U ∈ By y V ∈ Bz para ciertos y, z.
Existen U ′ , V ′ ∈ Bz tales que U ′ ⊂ U y V ′ ⊂ V (por la condición c). Existe
W ∈ Bx tal que W ⊂ U ′ ∩ V ′ (por la condición b). Así x ∈ W ⊂ U ∩ V con
W ∈ B.
Por lo tanto B es la base de una topología en X para la que los elementos
de cada Bx son abiertos y, en particular, entornos de x. SiA es un entorno de x
para dicha topología, existe un U ∈ B tal que x ∈ U ⊂ A. Por definición de B,
existe un y ∈ X tal que U ∈ By, y por c) existe un V ∈ Bx tal que V ⊂ U ⊂ A.
Esto prueba que Bx es una base de entornos de x.
Las bases de entornos determinan los entornos y por tanto la topología, es
decir, se da la unicidad.
Ejemplo Como aplicación de este teorema vamos a convertir en espacio topológico
al conjunto R = R ∪{−∞, +∞}. Para ello definimos como base de
entornos abiertos de cada número real x al conjunto los entornos abiertos de x
en R con la topología usual, la base de entornos abiertos de +∞ está formada
por los intervalos ]x, +∞], donde x varía en R, y la base de entornos abiertos
de −∞ la forman los intervalos [−∞,x[, donde x varía en R. Con esto estamos