Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

270 Capítulo 7. Teoría de la medida
7.4 El teorema de Riesz
Hasta ahora no tenemos ninguna medida de interés a la que aplicar los resultados
que acabamos de exponer. La construcción de medidas es el punto más
delicado de toda la teoría. Puesto que el proceso es complicado cualquiera que
sea el camino que tomemos, seguiremos uno que nos proporcionará un teorema
notable de la teoría de la medida, el teorema de representación de Riesz. Necesitamos
unos preliminares topológicos sobre espacios localmente compactos.
Definición 7.24 Un espacio (de Hausdorff) X es localmente compacto si todo
punto de X tiene una base de entornos compactos.
Así pues, si p es un punto de un espacio localmente compacto X y V es un
entorno abierto de p, existe un entorno compacto K ⊂ V . Por definición de
entorno existe un abierto W tal que p ∈ W ⊂ K ⊂ V y claramente W ⊂ K es
un entorno compacto de p. En resumen, si X es localmente compacto, p ∈ X y
V es un abierto tal que p ∈ V , existe otro abierto W con clausura compacta tal
que p ∈ W ⊂ W ⊂ V .
El teorema siguiente recoge un par de propiedades sencillas:
Teorema 7.25 Sea X un espacio de Hausdorff.
a) Si K ⊂ X es compacto y p ∈ X \ K, entonces existen abiertos disjuntos
U y V tales que p ∈ U y K ⊂ V .
b) Si X es localmente compacto, V es abierto en X y K ⊂ V es compacto,
entonces existe un abierto W tal que K ⊂ W ⊂ W ⊂ V y W es compacto.
Demostración: a) Por la propiedad de Hausdorff, para cada x ∈ K podemos
encontrar abiertos disjuntos Ux y Vx tales que p ∈ Ux y x ∈ Vx. Entonces
K está cubierto por los Vx, luego podemos tomar un subcubrimiento finito
Vx1,...,Vxn. Basta tomar como U la intersección de los Uxi y como V la unión
de los Vxi .
b) Para cada x ∈ K existe un abierto Wx de clausura compacta tal que
x ∈ Wx ⊂ W x ⊂ V . Los abiertos Wx cubren a K. Tomamos un subcubrimiento
finito y llamamos W a la unión de sus miembros.
Si X es un espacio localmente compacto y f : X −→ R, llamaremos soporte
de f a la clausura del conjunto de puntos donde f toma el valor 0. Llamaremos
Cc(X) al conjunto de las aplicaciones continuas f : X −→ R con soporte
compacto. Es claro que se trata de un subespacio vectorial de C(X).
Usaremos las notaciones K ≺ f y f ≺ V para indicar que f : X −→ [0, 1],
f ∈ Cc(X), K es compacto, V es abierto, f toma el valor 1 en K y f toma el
valor 0 en X \ V .
Teorema 7.26 (Lema de Urysohn) Sea X un espacio localmente compacto,
sea V un abierto y K ⊂ V compacto. Entonces existe f ∈ Cc(X) tal que
K ≺ f ≺ V .