Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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202 Capítulo 5. Introducción a las variedades diferenciables x/r(u),y/r(u) la inversa del homeomorfismo v ↦→ (cos v, sen v) definido para |v − v0| 0, pues para u = 0 tenemos el vértice del cono, donde S no es diferenciable. Una carta del cilindro es y para el cono tenemos X(u, v) =(r cos v, r sen v, u), X(u, v) =(mu cos v, mu sen v, u). Las figuras muestran algunos de los meridianos y paralelos del cilindro y el cono. Los meridianos son rectas y los paralelos circunferencias. Un caso más sofisticado aparece al girar una circunferencia de radio r cuyo centro esté a una distancia R del eje Z, es decir, tomando r(u),z(u) =(R + r cos u, r sen u), con 0
5.2. Espacios tangentes, diferenciales 203 Obviamente X es de clase C ∞ . Su restricción a ]0, 2π[ × ]0, 2π[ es inyectiva y cubre todos los puntos del toro excepto los de las circunferencias u =0y v = 0. Si llamamos U al complementario de la unión de estas dos circunferencias tenemos un abierto en R 3 , y es claro que con él se cumple la definición de variedad. Igualmente se prueba que la restricción a ]−π, π[ × ]−π, π[ constituye una carta para los puntos exceptuados. Así pues, el toro es una superficie diferenciable de clase C ∞ . Sus meridianos son circunferencias de radio r. La esfera menos dos puntos antípodas puede considerarse como la superficie de revolución generada por la semicircunferencia (r sen φ, r cos φ), para φ ∈ ]0,π[. La carta correspondiente es X(φ, θ) =(r sen φ cos θ, r sen φ sen θ, r cos φ), φ ∈ ]0,π[ ,θ ∈ ]0, 2π[ . Si p = X(φ, θ) entonces θ es la longitud de p en el sentido geográfico y φ es la “colatitud”, es decir, el ángulo respecto al polo norte. Los meridianos y paralelos coinciden con los geográficos. La carta no cubre los polos, aunque girando la esfera obtenemos otra carta similar que los cubra. Ejemplo: Producto de variedades Si S1 ⊂ Rm1 y S2 ⊂ Rm2 son variedades entonces S1 × S2 ⊂ Rm1+m2 es también una variedad. Si X1 : U1 −→ V1 ∩ S1 es una carta alrededor de un punto p1 ∈ S1 y X2 : U2 −→ V2 ∩ S2 es una carta alrededor de p2 ∈ S2, entonces X1 × X2 : U1 × U2 −→ (V1 × V2) ∩ (S2 × S2) dada por (X1 × X2)(u1,u2) = X1(u1),X2(u2) es una carta alrededor de (p1,p2). Sean πi : S1 × S2 −→ Si las proyecciones. Si la carta X1 tiene coordenadas x1,...,xn1 y la carta X2 tiene coordenadas y1,...,yn2 , entonces las coordenadas de X1 ×X2 son las funciones π1 ◦xi y π2 ◦yi, a las que podemos seguir llamando xi e yi sin riesgo de confusión. 5.2 Espacios tangentes, diferenciales Al principio de la sección anterior anticipábamos que los sistemas de coordenadas en una variedad son un análogo a los sistemas de coordenadas en un espacio afín. La diferencia principal es que en el caso afín las coordenadas están definidas sobre todo el espacio, mientras que en una variedad las tenemos definidas sólo en un entorno de cada punto. En esta sección desarrollaremos esta analogía mostrando que toda variedad diferenciable se confunde en un entorno de cada punto con una variedad afín. Para empezar, si p es un punto de una variedad S, X es una carta alrededor de p y x es su sistema de coordenadas
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Capítulo III Cálculo diferencial
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