Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

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464 Capítulo 13. Aplicaciones al electromagnetismo Para derivar respecto de r podemos hacer primero t =0,yasí ∂rM(u) (x, vt, 0) = ∂r ∂ 1 u(y, 0) dσ(y) ∂r 4πr y−x=r = ∂rM(φ) (x, vt) = ∂r ∂ tM(φ)(x, vt) . ∂t Por otra parte, ∂rM(u) 1 (x, vt, 0) = ∂t 4πr 1 = 4πr y−x=r ψ(y) dσ(y) (x,vt) y−x=r (x,vt) (x,vt,0) ∂u (y, t) dσ(y) ∂t = rM(ψ) (x, vt) =vtM(ψ)(x, vt). En total u(x, t) = ∂ tM(φ)(x, vt) + tM(ψ)(x, vt). (13.18) ∂t Explícitamente: u(x, t) = ∂ 1 ∂t 4πv2 φ(y) dσ(y) + t y−x=vt 1 4πv2 ψ(y) dσ(y). t y−x=vt Esto justifica la unicidad de la solución. Para probar la existencia hemos de ver que, para cualquier par de funciones φ de clase C 3 y ψ de clase C 2 , la función dada por (13.18) satisface la ecuación de ondas con las condiciones iniciales φ y ψ. Comencemos por éstas: u(x, 0) = M(φ)(x, 0) + ∂u (x, 0) = ∂t + 2 ∂ ∂t t ∂ t=0 M(φ)(x, vt) +0=φ(x). ∂t ∂2 M(φ)(x, vt)+t M(φ)(x, vt) ∂t2 M(ψ)(x, vt)+t ∂ M(ψ)(x, vt) ∂t (x,0) Hemos usado (13.17) para probar que ∂ M(φ)(x, vt) = v ∂t ∂M(φ) (x, 0) = 0. ∂r (x,0) (x,0) = ψ(x). La suma de dos soluciones de la ecuación de ondas es también una solución, luego basta probar que los dos términos de (13.18) satisfacen la ecuación de ondas. Más aún, la derivada respecto de t de una solución es también solución,
13.4. La ecuación de ondas 465 luego basta ver que tM(ψ)(x, vt) satisface la ecuación de ondas. Según (13.17) tenemos ∂M(ψ)(x, vt) = v ∂t ∂M(ψ) (x, vt) = ∂r 1 4πvt2 ∆ψ(y) dm(y) y−x
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Índice General Introducción ix Ca
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x Introducción donde hemos desprec
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xii Introducción desde el primer m
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xiv Introducción la medida de lo p
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Capítulo I Topología La topologí
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1.5. Continuidad 21 Pedir que los p
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1.8. Sucesiones y series numéricas
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60 Capítulo 2. Compacidad, conexi
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Capítulo III Cálculo diferencial
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Capítulo V Introducción a las var
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