Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

290 Capítulo 8. Teoría de la medida II
En efecto, si U × V es un rectángulo medible, entonces
V si x ∈ U
(U × V )x =
∅ si x/∈ U.
Por lo tanto ν
(U × V )x = ν(V )χU , que es una función medible. Igualmente
µ
(U × V )y = µ(U)χV . Las integrales valen ambas µ(U)ν(V ), luego U × V
está enC. Esto prueba a).
Para demostrar b) observamos que Qx = ∞
(Qn)x, y la sucesión es creciente,
n=1
por lo que ν(Qx) = lím ν
n
(Qn)x . Como los conjuntos Qn están en C, las
funciones ν
(Qn)x son medibles, luego su límite puntual ν(Qx) también lo es.
Igualmente ocurre con µ(Qy). El teorema de la convergencia monótona da la
igualdad de las integrales, luego Q ∈ C.
La prueba de c) es similar, usando ahora que ν(Qx) es la suma de las funciones
ν
(Qn)x en lugar del límite.
En el caso d) tenemos también n(Qx) =lím ν
n
(Qn)x , pero ahora la sucesión
no es monótona creciente. La única diferencia es que en lugar del teorema de
la convergencia monótona usamos el teorema de la convergencia dominada. La
hipótesis ν(V ) < +∞ garantiza que las funciones ν
(Qn)x están dominadas
por la función integrable χV .
Estamos suponiendo que las medidas en X yenY son σ-finitas, lo cual
significa que podemos expresar X = ∞
Xn e Y =
n=1
∞
Yn para ciertos conjuntos
n=1
medibles de medida finita que además podemos suponer disjuntos dos a dos.
Sea ahora E un conjunto medible en X×Y . Definamos Emn = E∩(Xm×Yn)
y sea M la familia de todos los conjuntos E tales que los Emn así definidos están
en C. las propiedades b) y d) muestran que M es una clase monótona, mientras
que a) y c) muestran que contiene a las figuras elementales. El teorema 8.3
implica ahora que M contiene a todos los conjuntos medibles de X × Y .
Así pues, para todo conjunto medible E, los conjuntos Emn están en C, pero
claramente E es unión disjunta de los Emn,luego por c) tenemos E ∈ C, es decir,
todo conjunto medible E cumple el teorema.
Definición 8.6 Sean X e Y espacios con medidas σ-finitas µ y ν. Definimos
la medida producto λ × µ como la dada por
(µ × ν)(Q) = ν(Qx) dµ(x) = µ(Q y ) dν(y).
X
Con el teorema 7.16se prueba fácilmente que µ×ν es realmente una medida
en la σ-álgebra producto. Además es claro que sobre los rectángulos medibles
tenemos (µ × ν)(A × B) =µ(A)ν(B) (con el convenio 0 ·∞= 0).
Conviene dar una caracterización de la medida producto que no dependa del
teorema anterior:
Y