Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

426 Capítulo 12. Funciones Harmónicas
donde la última integral se interpreta como el número complejo que se obtiene
integrando por separado la parte real y la parte imaginaria del integrando.
Conviene observar que el miembro derecho tiene sentido aunque γ no sea la
carta de ninguna variedad. Basta con que γ sea una aplicación de clase C1 (no
necesariamente inyectiva) y f una aplicación continua sobre la imagen de γ. En
estas condiciones representaremos la integral por
f(z) dz.
γ
Como primer hecho importante notamos que el teorema 7.23 es aplicable
para derivar integrales de funciones complejas: Si γ es un arco, K ⊂ C es su
imagen y f :Ω× K −→ C es una función tal que f( ,ζ) es holomorfa en Ω para
cada ζ ∈ K, entonces la función F (z) =
f(z,ζ) dζ es holomorfa en Ω y
F ′
(z) =
γ
γ
df
(z,ζ) dζ.
dz
Basta aplicar 7.23 para comprobar que F tiene derivadas parciales y éstas
cumplen las ecuaciones de Cauchy-Riemann.
Si h :[a, b] −→ C es una función continua se cumple la desigualdad
b
h(t) dt
≤
b
|h(t)| dt.
a
sea
En efecto: Si la integral de h es nula la desigualdad es obvia. En otro caso
α =
b
h(t) dt
a
∈ C.
b
h(t) dt a
Entonces
b b b
h(t) dt
= α h(t) dt = αh(t) dt,
a
pero como se trata de un número real, en realidad ha de ser
b
h(t) dt
=
b
b
Re(αh(t)) dt ≤ |h(t)| dt,
pues Re z ≤|z| y |α| =1.
a
a
Aplicado a la integral de una función f sobre un arco γ tenemos
f(z) dz
≤
b
|f(γ(t))||γ ′ (t)| dt.
γ
a
a
a
a
a