Carlos Ivorra Castillo AN´ALISIS MATEM´ATICO - Tecnologia-Tecnica

9.1. Integración en variedades 329
Todo triángulo hiperbólico T se puede expresar como la unión o la diferencia
de dos triángulos rectángulos, de donde es fácil concluir que en general
m(T )=π − α − β − γ.
Esto prueba que la suma de los ángulos de un triángulo hiperbólico es siempre
menor que π.
El teorema siguiente nos conecta el teorema de Fubini con la integración en
variedades:
Teorema 9.5 Si S1 ⊂ R m1 y S2 ⊂ R m2 son variedades diferenciables, entonces
la medida de Lebesgue en S1 × S2 (restringida a los conjuntos de Borel) es el
producto de las medidas de Lebesgue de S1 y S2 (sobre los conjuntos de Borel).
Demostración: Sean m, m1 y m2 las medidas de Lebesgue en S1 × S2,
S1 y S2 respectivamente. Basta probar que si A1 y A2 son conjuntos de Borel
en S1 y S2 entonces m(A1 × A2) =m1(A1)m2(A2). Es fácil ver que A1 y A2
se descomponen en una unión numerable disjunta de conjuntos de Borel, cada
uno de los cuales está contenido en el rango de una carta. También es claro que
si probamos la igualdad anterior para los productos de estos abiertos de ahí se
sigue el caso general. En definitiva, podemos suponer que A1 está contenido
en el rango de una carta X1 y A2 está contenido en el rango de una carta X2.
Una simple comprobación nos da que ∆X1×X2 =∆X1∆X2 , luego aplicando el
teorema de Fubini concluimos que
=
m(A1 × A2) =
X −1
1 [A1]
∆X1 dx1 ···dxn1
X −1
1 [A1]×X−1 2 [A2]
∆X1∆X2 dx1 ···dxn1+n2
= m1(A1)m2(A2).
X −1
2 [A2]
∆X2 dxn1+1 ···dxn1+n2
Terminamos la sección con una interpretación de la curvatura de Gauss de
una superficie. De hecho se trata de la definición de curvatura que adoptó el
propio Gauss.
Teorema 9.6 Sea S una superficie y p un punto en el que la curvatura no sea
nula. Sea n una determinación del vector normal en un entorno de p. Entonces
m(n[E])
|K(p)| = lím
E→p m(E) ,
donde el límite se entiende en el mismo sentido que en el teorema 9.4.